Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75100 / 55837
↖ ↑ ↗
← N 25.728158°
E 26.268311°		 ← 275.09 m → N 25.728158°
E 26.271057°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
N 25.725684°
E 26.268311°		 ← 275.10 m →
75 678 m²		 N 25.725684°
E 26.271057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572971343994141 y=0.426006317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572971343994141 × 217)
    floor (0.572971343994141 × 131072)
    floor (75100.5)     		tx = 75100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426006317138672 × 217)
    floor (0.426006317138672 × 131072)
    floor (55837.5)     		ty = 55837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75100 / 55837 ti = "17/75100/55837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75100/55837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75100 ÷ 217
    75100 ÷ 131072     		x = 0.572967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55837 ÷ 217
    55837 ÷ 131072     		y = 0.426002502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572967529296875 × 2 - 1) × π
    0.14593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45846851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426002502441406 × 2 - 1) × π
    0.147994995117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.464939989414925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45846851} λ = 0.45846851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464939989414925))-π/2
    2×atan(1.59191865405076)-π/2
    2×1.00991869940326-π/2
    2.01983739880651-1.57079632675     		φ = 0.44904107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45846851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.268311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44904107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.728158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75100 KachelY 55837 0.45846851 0.44904107 26.268311 25.728158
    Oben rechts KachelX + 1 75101 KachelY 55837 0.45851644 0.44904107 26.271057 25.728158
    Unten links KachelX 75100 KachelY + 1 55838 0.45846851 0.44899789 26.268311 25.725684
    Unten rechts KachelX + 1 75101 KachelY + 1 55838 0.45851644 0.44899789 26.271057 25.725684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44904107-0.44899789) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dl = 275.099779999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44904107-0.44899789) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dr = 275.099779999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45846851-0.45851644) × cos(0.44904107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.900863789786809 × 6371000     		do = 275.089595602962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45846851-0.45851644) × cos(0.44899789) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90088253346565 × 6371000     		du = 275.095319210782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44904107)-sin(0.44899789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900863789786809-0.90088253346565)×R²
    abs(0.45851644-0.45846851)×1.87436788409157e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87436788409157e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87436788409157e-05×40589641000000     		ar = 75677.874523999m²