Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75100 / 55772
↖ ↑ ↗
← N 25.888879°
E 26.268311°		 ← 274.72 m → N 25.888879°
E 26.271057°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
N 25.886407°
E 26.268311°		 ← 274.72 m →
75 488 m²		 N 25.886407°
E 26.271057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572971343994141 y=0.425510406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572971343994141 × 217)
    floor (0.572971343994141 × 131072)
    floor (75100.5)     		tx = 75100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425510406494141 × 217)
    floor (0.425510406494141 × 131072)
    floor (55772.5)     		ty = 55772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75100 / 55772 ti = "17/75100/55772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75100/55772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75100 ÷ 217
    75100 ÷ 131072     		x = 0.572967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55772 ÷ 217
    55772 ÷ 131072     		y = 0.425506591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572967529296875 × 2 - 1) × π
    0.14593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45846851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425506591796875 × 2 - 1) × π
    0.14898681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.468055887890228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45846851} λ = 0.45846851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468055887890228))-π/2
    2×atan(1.59688664681882)-π/2
    2×1.01132124884501-π/2
    2.02264249769002-1.57079632675     		φ = 0.45184617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45846851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.268311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45184617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.888879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75100 KachelY 55772 0.45846851 0.45184617 26.268311 25.888879
    Oben rechts KachelX + 1 75101 KachelY 55772 0.45851644 0.45184617 26.271057 25.888879
    Unten links KachelX 75100 KachelY + 1 55773 0.45846851 0.45180304 26.268311 25.886407
    Unten rechts KachelX + 1 75101 KachelY + 1 55773 0.45851644 0.45180304 26.271057 25.886407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45184617-0.45180304) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dl = 274.781230000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45184617-0.45180304) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dr = 274.781230000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45846851-0.45851644) × cos(0.45184617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.899642547972574 × 6371000     		do = 274.716674723446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45846851-0.45851644) × cos(0.45180304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.899661378865669 × 6371000     		du = 274.722424963188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45184617)-sin(0.45180304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899642547972574-0.899661378865669)×R²
    abs(0.45851644-0.45846851)×1.88308930947345e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88308930947345e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88308930947345e-05×40589641000000     		ar = 75487.7758226605m²