Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7510 / 5177
↖ ↑ ↗
← N 55.065787°
W 14.985351°		 ← 1 399.07 m → N 55.065787°
W 14.963379°		 →
↑
1 399.33 m
↓
↑
1 399.33 m
↓
N 55.053203°
W 14.985351°		 ← 1 399.51 m →
1 958 066 m²		 N 55.053203°
W 14.963379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458404541015625 y=0.316009521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458404541015625 × 214)
    floor (0.458404541015625 × 16384)
    floor (7510.5)     		tx = 7510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316009521484375 × 214)
    floor (0.316009521484375 × 16384)
    floor (5177.5)     		ty = 5177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7510 / 5177 ti = "14/7510/5177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7510/5177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7510 ÷ 214
    7510 ÷ 16384     		x = 0.4583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5177 ÷ 214
    5177 ÷ 16384     		y = 0.31597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26154372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31597900390625 × 2 - 1) × π
    0.3680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15623801883575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26154372} λ = -0.26154372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15623801883575))-π/2
    2×atan(3.17795535170571)-π/2
    2×1.26593780657426-π/2
    2.53187561314851-1.57079632675     		φ = 0.96107929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26154372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.985351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96107929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.065787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7510 KachelY 5177 -0.26154372 0.96107929 -14.985351 55.065787
    Oben rechts KachelX + 1 7511 KachelY 5177 -0.26116023 0.96107929 -14.963379 55.065787
    Unten links KachelX 7510 KachelY + 1 5178 -0.26154372 0.96085965 -14.985351 55.053203
    Unten rechts KachelX + 1 7511 KachelY + 1 5178 -0.26116023 0.96085965 -14.963379 55.053203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96107929-0.96085965) × R
    0.000219640000000076 × 6371000     		dl = 1399.32644000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96107929-0.96085965) × R
    0.000219640000000076 × 6371000     		dr = 1399.32644000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26154372--0.26116023) × cos(0.96107929) × R
    0.000383489999999986 × 0.572635506939164 × 6371000     		do = 1399.07153983286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26154372--0.26116023) × cos(0.96085965) × R
    0.000383489999999986 × 0.572815556212419 × 6371000     		du = 1399.51143888021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96107929)-sin(0.96085965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572635506939164-0.572815556212419)×R²
    abs(-0.26116023--0.26154372)×0.000180049273255212×R²
    0.000383489999999986×0.000180049273255212×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180049273255212×40589641000000     		ar = 1958065.58619612m²