Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75099 / 55963
↖ ↑ ↗
← N 25.415990°
E 26.265564°		 ← 275.87 m → N 25.415990°
E 26.268311°		 →
↑
275.86 m
↓
↑
275.86 m
↓
N 25.413509°
E 26.265564°		 ← 275.87 m →
76 102 m²		 N 25.413509°
E 26.268311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572963714599609 y=0.426967620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572963714599609 × 217)
    floor (0.572963714599609 × 131072)
    floor (75099.5)     		tx = 75099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426967620849609 × 217)
    floor (0.426967620849609 × 131072)
    floor (55963.5)     		ty = 55963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75099 / 55963 ti = "17/75099/55963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75099/55963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75099 ÷ 217
    75099 ÷ 131072     		x = 0.572959899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55963 ÷ 217
    55963 ÷ 131072     		y = 0.426963806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572959899902344 × 2 - 1) × π
    0.145919799804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.45842057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426963806152344 × 2 - 1) × π
    0.146072387695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.458899940062798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45842057} λ = 0.45842057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458899940062798))-π/2
    2×atan(1.58233236678387)-π/2
    2×1.00719451213807-π/2
    2.01438902427613-1.57079632675     		φ = 0.44359270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45842057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.265564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44359270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.415990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75099 KachelY 55963 0.45842057 0.44359270 26.265564 25.415990
    Oben rechts KachelX + 1 75100 KachelY 55963 0.45846851 0.44359270 26.268311 25.415990
    Unten links KachelX 75099 KachelY + 1 55964 0.45842057 0.44354940 26.265564 25.413509
    Unten rechts KachelX + 1 75100 KachelY + 1 55964 0.45846851 0.44354940 26.268311 25.413509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44359270-0.44354940) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dl = 275.864300000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44359270-0.44354940) × R
    4.33000000000239e-05 × 6371000     		dr = 275.864300000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45842057-0.45846851) × cos(0.44359270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903215554764086 × 6371000     		do = 275.865279193151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45842057-0.45846851) × cos(0.44354940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903234137723578 × 6371000     		du = 275.870954907305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44359270)-sin(0.44354940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903215554764086-0.903234137723578)×R²
    abs(0.45846851-0.45842057)×1.85829594927522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85829594927522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85829594927522e-05×40589641000000     		ar = 76102.1650143738m²