Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75099 / 55285
↖ ↑ ↗
← N 27.086028°
E 26.265564°		 ← 271.93 m → N 27.086028°
E 26.268311°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 27.083583°
E 26.265564°		 ← 271.93 m →
73 942 m²		 N 27.083583°
E 26.268311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572963714599609 y=0.421794891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572963714599609 × 217)
    floor (0.572963714599609 × 131072)
    floor (75099.5)     		tx = 75099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421794891357422 × 217)
    floor (0.421794891357422 × 131072)
    floor (55285.5)     		ty = 55285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75099 / 55285 ti = "17/75099/55285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75099/55285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75099 ÷ 217
    75099 ÷ 131072     		x = 0.572959899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55285 ÷ 217
    55285 ÷ 131072     		y = 0.421791076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572959899902344 × 2 - 1) × π
    0.145919799804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.45842057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421791076660156 × 2 - 1) × π
    0.156417846679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.491401158005196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45842057} λ = 0.45842057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491401158005196))-π/2
    2×atan(1.63460495595992)-π/2
    2×1.02176834690116-π/2
    2.04353669380232-1.57079632675     		φ = 0.47274037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45842057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.265564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47274037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.086028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75099 KachelY 55285 0.45842057 0.47274037 26.265564 27.086028
    Oben rechts KachelX + 1 75100 KachelY 55285 0.45846851 0.47274037 26.268311 27.086028
    Unten links KachelX 75099 KachelY + 1 55286 0.45842057 0.47269769 26.265564 27.083583
    Unten rechts KachelX + 1 75100 KachelY + 1 55286 0.45846851 0.47269769 26.268311 27.083583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47274037-0.47269769) × R
    4.26800000000171e-05 × 6371000     		dl = 271.914280000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47274037-0.47269769) × R
    4.26800000000171e-05 × 6371000     		dr = 271.914280000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45842057-0.45846851) × cos(0.47274037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890323866087922 × 6371000     		do = 271.927825639386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45842057-0.45846851) × cos(0.47269769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890343298667897 × 6371000     		du = 271.933760849505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47274037)-sin(0.47269769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890323866087922-0.890343298667897)×R²
    abs(0.45846851-0.45842057)×1.94325799749429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94325799749429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94325799749429e-05×40589641000000     		ar = 73941.8658662103m²