Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75097 / 55735
↖ ↑ ↗
← N 25.980268°
E 26.260071°		 ← 274.50 m → N 25.980268°
E 26.262817°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 25.977799°
E 26.260071°		 ← 274.51 m →
75 377 m²		 N 25.977799°
E 26.262817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572948455810547 y=0.425228118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572948455810547 × 217)
    floor (0.572948455810547 × 131072)
    floor (75097.5)     		tx = 75097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425228118896484 × 217)
    floor (0.425228118896484 × 131072)
    floor (55735.5)     		ty = 55735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75097 / 55735 ti = "17/75097/55735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75097/55735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75097 ÷ 217
    75097 ÷ 131072     		x = 0.572944641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55735 ÷ 217
    55735 ÷ 131072     		y = 0.425224304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572944641113281 × 2 - 1) × π
    0.145889282226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45832470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425224304199219 × 2 - 1) × π
    0.149551391601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.46982955317617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45832470} λ = 0.45832470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46982955317617))-π/2
    2×atan(1.59972150252927)-π/2
    2×1.01211877203186-π/2
    2.02423754406372-1.57079632675     		φ = 0.45344122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45832470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.260071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45344122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.980268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75097 KachelY 55735 0.45832470 0.45344122 26.260071 25.980268
    Oben rechts KachelX + 1 75098 KachelY 55735 0.45837263 0.45344122 26.262817 25.980268
    Unten links KachelX 75097 KachelY + 1 55736 0.45832470 0.45339812 26.260071 25.977799
    Unten rechts KachelX + 1 75098 KachelY + 1 55736 0.45837263 0.45339812 26.262817 25.977799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45344122-0.45339812) × R
    4.30999999999626e-05 × 6371000     		dl = 274.590099999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45344122-0.45339812) × R
    4.30999999999626e-05 × 6371000     		dr = 274.590099999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45832470-0.45837263) × cos(0.45344122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.898944961671768 × 6371000     		do = 274.503658354531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45832470-0.45837263) × cos(0.45339812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.898963841291309 × 6371000     		du = 274.50942347348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45344122)-sin(0.45339812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898944961671768-0.898963841291309)×R²
    abs(0.45837263-0.45832470)×1.88796195417229e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88796195417229e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88796195417229e-05×40589641000000     		ar = 75376.7785318846m²