Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75094 / 55332
↖ ↑ ↗
← N 26.971038°
E 26.251831°		 ← 272.15 m → N 26.971038°
E 26.254577°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.968590°
E 26.251831°		 ← 272.16 m →
74 072 m²		 N 26.968590°
E 26.254577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572925567626953 y=0.422153472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572925567626953 × 217)
    floor (0.572925567626953 × 131072)
    floor (75094.5)     		tx = 75094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422153472900391 × 217)
    floor (0.422153472900391 × 131072)
    floor (55332.5)     		ty = 55332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75094 / 55332 ti = "17/75094/55332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75094/55332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75094 ÷ 217
    75094 ÷ 131072     		x = 0.572921752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55332 ÷ 217
    55332 ÷ 131072     		y = 0.422149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572921752929688 × 2 - 1) × π
    0.145843505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45818089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422149658203125 × 2 - 1) × π
    0.15570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.489148123723053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45818089} λ = 0.45818089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489148123723053))-π/2
    2×atan(1.63092628060336)-π/2
    2×1.0207648678454-π/2
    2.04152973569081-1.57079632675     		φ = 0.47073341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45818089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.251831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47073341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.971038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75094 KachelY 55332 0.45818089 0.47073341 26.251831 26.971038
    Oben rechts KachelX + 1 75095 KachelY 55332 0.45822882 0.47073341 26.254577 26.971038
    Unten links KachelX 75094 KachelY + 1 55333 0.45818089 0.47069069 26.251831 26.968590
    Unten rechts KachelX + 1 75095 KachelY + 1 55333 0.45822882 0.47069069 26.254577 26.968590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47073341-0.47069069) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47073341-0.47069069) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45818089-0.45822882) × cos(0.47073341) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.891235897111622 × 6371000     		do = 272.149602750727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45818089-0.45822882) × cos(0.47069069) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.891255271529241 × 6371000     		du = 272.155518962221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47073341)-sin(0.47069069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891235897111622-0.891255271529241)×R²
    abs(0.45822882-0.45818089)×1.93744176190114e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.93744176190114e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.93744176190114e-05×40589641000000     		ar = 74071.5230053219m²