Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75092 / 55636
↖ ↑ ↗
← N 26.224447°
E 26.246338°		 ← 273.99 m → N 26.224447°
E 26.249084°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
N 26.221983°
E 26.246338°		 ← 273.99 m →
75 061 m²		 N 26.221983°
E 26.249084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572910308837891 y=0.424472808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572910308837891 × 217)
    floor (0.572910308837891 × 131072)
    floor (75092.5)     		tx = 75092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424472808837891 × 217)
    floor (0.424472808837891 × 131072)
    floor (55636.5)     		ty = 55636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75092 / 55636 ti = "17/75092/55636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75092/55636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75092 ÷ 217
    75092 ÷ 131072     		x = 0.572906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55636 ÷ 217
    55636 ÷ 131072     		y = 0.424468994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572906494140625 × 2 - 1) × π
    0.14581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45808501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424468994140625 × 2 - 1) × π
    0.15106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474575306238556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45808501} λ = 0.45808501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474575306238556))-π/2
    2×atan(1.60733142888184)-π/2
    2×1.01424963524931-π/2
    2.02849927049862-1.57079632675     		φ = 0.45770294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45808501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.246338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45770294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.224447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75092 KachelY 55636 0.45808501 0.45770294 26.246338 26.224447
    Oben rechts KachelX + 1 75093 KachelY 55636 0.45813295 0.45770294 26.249084 26.224447
    Unten links KachelX 75092 KachelY + 1 55637 0.45808501 0.45765994 26.246338 26.221983
    Unten rechts KachelX + 1 75093 KachelY + 1 55637 0.45813295 0.45765994 26.249084 26.221983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45770294-0.45765994) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45770294-0.45765994) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45808501-0.45813295) × cos(0.45770294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897069908064725 × 6371000     		do = 273.988240502221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45808501-0.45813295) × cos(0.45765994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897088908447379 × 6371000     		du = 273.994043708153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45770294)-sin(0.45765994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897069908064725-0.897088908447379)×R²
    abs(0.45813295-0.45808501)×1.90003826538998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90003826538998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90003826538998e-05×40589641000000     		ar = 75060.6953647092m²