Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75092 / 55333
↖ ↑ ↗
← N 26.968590°
E 26.246338°		 ← 272.21 m → N 26.968590°
E 26.249084°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.966142°
E 26.246338°		 ← 272.22 m →
74 106 m²		 N 26.966142°
E 26.249084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572910308837891 y=0.422161102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572910308837891 × 217)
    floor (0.572910308837891 × 131072)
    floor (75092.5)     		tx = 75092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422161102294922 × 217)
    floor (0.422161102294922 × 131072)
    floor (55333.5)     		ty = 55333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75092 / 55333 ti = "17/75092/55333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75092/55333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75092 ÷ 217
    75092 ÷ 131072     		x = 0.572906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55333 ÷ 217
    55333 ÷ 131072     		y = 0.422157287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572906494140625 × 2 - 1) × π
    0.14581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45808501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422157287597656 × 2 - 1) × π
    0.155685424804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.489100186823433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45808501} λ = 0.45808501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489100186823433))-π/2
    2×atan(1.63084810092782)-π/2
    2×1.02074350607031-π/2
    2.04148701214063-1.57079632675     		φ = 0.47069069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45808501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.246338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47069069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.968590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75092 KachelY 55333 0.45808501 0.47069069 26.246338 26.968590
    Oben rechts KachelX + 1 75093 KachelY 55333 0.45813295 0.47069069 26.249084 26.968590
    Unten links KachelX 75092 KachelY + 1 55334 0.45808501 0.47064796 26.246338 26.966142
    Unten rechts KachelX + 1 75093 KachelY + 1 55334 0.45813295 0.47064796 26.249084 26.966142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47069069-0.47064796) × R
    4.27300000000463e-05 × 6371000     		dl = 272.232830000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47069069-0.47064796) × R
    4.27300000000463e-05 × 6371000     		dr = 272.232830000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45808501-0.45813295) × cos(0.47069069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891255271529241 × 6371000     		do = 272.212300835541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45808501-0.45813295) × cos(0.47064796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891274648854959 × 6371000     		du = 272.218219169588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47069069)-sin(0.47064796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891255271529241-0.891274648854959)×R²
    abs(0.45813295-0.45808501)×1.93773257185503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93773257185503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93773257185503e-05×40589641000000     		ar = 74105.9306110452m²