Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7509 / 7898
↖ ↑ ↗
← N 79.470585°
W138.751831°		 ← 111.63 m → N 79.470585°
W138.746338°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
N 79.469581°
W138.751831°		 ← 111.64 m →
12 460 m²		 N 79.469581°
W138.746338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114585876464844 y=0.120521545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114585876464844 × 216)
    floor (0.114585876464844 × 65536)
    floor (7509.5)     		tx = 7509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120521545410156 × 216)
    floor (0.120521545410156 × 65536)
    floor (7898.5)     		ty = 7898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7509 / 7898 ti = "16/7509/7898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7509/7898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7509 ÷ 216
    7509 ÷ 65536     		x = 0.114578247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7898 ÷ 216
    7898 ÷ 65536     		y = 0.120513916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114578247070312 × 2 - 1) × π
    -0.770843505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42167630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120513916015625 × 2 - 1) × π
    0.75897216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38438138710159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42167630} λ = -2.42167630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38438138710159))-π/2
    2×atan(10.8523471860465)-π/2
    2×1.47890984158574-π/2
    2.95781968317148-1.57079632675     		φ = 1.38702336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42167630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.751831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38702336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.470585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7509 KachelY 7898 -2.42167630 1.38702336 -138.751831 79.470585
    Oben rechts KachelX + 1 7510 KachelY 7898 -2.42158042 1.38702336 -138.746338 79.470585
    Unten links KachelX 7509 KachelY + 1 7899 -2.42167630 1.38700584 -138.751831 79.469581
    Unten rechts KachelX + 1 7510 KachelY + 1 7899 -2.42158042 1.38700584 -138.746338 79.469581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38702336-1.38700584) × R
    1.75199999998821e-05 × 6371000     		dl = 111.619919999249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38702336-1.38700584) × R
    1.75199999998821e-05 × 6371000     		dr = 111.619919999249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42167630--2.42158042) × cos(1.38702336) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182740299936772 × 6371000     		do = 111.627182671948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42167630--2.42158042) × cos(1.38700584) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182757524893284 × 6371000     		du = 111.637704562126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38702336)-sin(1.38700584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182740299936772-0.182757524893284)×R²
    abs(-2.42158042--2.42167630)×1.72249565118521e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72249565118521e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72249565118521e-05×40589641000000     		ar = 12460.4044262544m²