Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7509 / 10697
↖ ↑ ↗
← S 48.122101°
W 15.007324°		 ← 1 631 m → S 48.122101°
W 14.985351°		 →
↑
1 630.72 m
↓
↑
1 630.72 m
↓
S 48.136767°
W 15.007324°		 ← 1 630.53 m →
2 659 325 m²		 S 48.136767°
W 14.985351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458343505859375 y=0.652923583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458343505859375 × 214)
    floor (0.458343505859375 × 16384)
    floor (7509.5)     		tx = 7509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652923583984375 × 214)
    floor (0.652923583984375 × 16384)
    floor (10697.5)     		ty = 10697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7509 / 10697 ti = "14/7509/10697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7509/10697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7509 ÷ 214
    7509 ÷ 16384     		x = 0.45831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10697 ÷ 214
    10697 ÷ 16384     		y = 0.65289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.0833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26192722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.3057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.960655468385925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26192722} λ = -0.26192722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960655468385925))-π/2
    2×atan(0.382641994028012)-π/2
    2×0.365453610446974-π/2
    0.730907220893948-1.57079632675     		φ = -0.83988911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26192722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.007324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83988911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.122101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7509 KachelY 10697 -0.26192722 -0.83988911 -15.007324 -48.122101
    Oben rechts KachelX + 1 7510 KachelY 10697 -0.26154372 -0.83988911 -14.985351 -48.122101
    Unten links KachelX 7509 KachelY + 1 10698 -0.26192722 -0.84014507 -15.007324 -48.136767
    Unten rechts KachelX + 1 7510 KachelY + 1 10698 -0.26154372 -0.84014507 -14.985351 -48.136767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83988911--0.84014507) × R
    0.000255960000000055 × 6371000     		dl = 1630.72116000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83988911--0.84014507) × R
    0.000255960000000055 × 6371000     		dr = 1630.72116000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26192722--0.26154372) × cos(-0.83988911) × R
    0.000383500000000037 × 0.667545395212953 × 6371000     		do = 1630.99931189797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26192722--0.26154372) × cos(-0.84014507) × R
    0.000383500000000037 × 0.667354793440794 × 6371000     		du = 1630.53361868599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83988911)-sin(-0.84014507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667545395212953-0.667354793440794)×R²
    abs(-0.26154372--0.26192722)×0.000190601772159904×R²
    0.000383500000000037×0.000190601772159904×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190601772159904×40589641000000     		ar = 2659325.39648861m²