Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7509 / 10443
↖ ↑ ↗
← S 44.260937°
W 15.007324°		 ← 1 749.80 m → S 44.260937°
W 14.985351°		 →
↑
1 749.60 m
↓
↑
1 749.60 m
↓
S 44.276672°
W 15.007324°		 ← 1 749.33 m →
3 061 047 m²		 S 44.276672°
W 14.985351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458343505859375 y=0.637420654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458343505859375 × 214)
    floor (0.458343505859375 × 16384)
    floor (7509.5)     		tx = 7509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637420654296875 × 214)
    floor (0.637420654296875 × 16384)
    floor (10443.5)     		ty = 10443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7509 / 10443 ti = "14/7509/10443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7509/10443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7509 ÷ 214
    7509 ÷ 16384     		x = 0.45831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10443 ÷ 214
    10443 ÷ 16384     		y = 0.63739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.0833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26192722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.2747802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.863247688357971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26192722} λ = -0.26192722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863247688357971))-π/2
    2×atan(0.421790012982263)-π/2
    2×0.399148620887247-π/2
    0.798297241774495-1.57079632675     		φ = -0.77249908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26192722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.007324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77249908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.260937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7509 KachelY 10443 -0.26192722 -0.77249908 -15.007324 -44.260937
    Oben rechts KachelX + 1 7510 KachelY 10443 -0.26154372 -0.77249908 -14.985351 -44.260937
    Unten links KachelX 7509 KachelY + 1 10444 -0.26192722 -0.77277370 -15.007324 -44.276672
    Unten rechts KachelX + 1 7510 KachelY + 1 10444 -0.26154372 -0.77277370 -14.985351 -44.276672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77249908--0.77277370) × R
    0.000274620000000003 × 6371000     		dl = 1749.60402000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77249908--0.77277370) × R
    0.000274620000000003 × 6371000     		dr = 1749.60402000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26192722--0.26154372) × cos(-0.77249908) × R
    0.000383500000000037 × 0.71616873195086 × 6371000     		do = 1749.79966514797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26192722--0.26154372) × cos(-0.77277370) × R
    0.000383500000000037 × 0.715977040185993 × 6371000     		du = 1749.33130878024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77249908)-sin(-0.77277370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71616873195086-0.715977040185993)×R²
    abs(-0.26154372--0.26192722)×0.000191691764867108×R²
    0.000383500000000037×0.000191691764867108×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191691764867108×40589641000000     		ar = 3061046.82848322m²