Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75089 / 55918
↖ ↑ ↗
← N 25.527572°
E 26.238098°		 ← 275.61 m → N 25.527572°
E 26.240845°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
N 25.525093°
E 26.238098°		 ← 275.62 m →
75 961 m²		 N 25.525093°
E 26.240845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572887420654297 y=0.426624298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572887420654297 × 217)
    floor (0.572887420654297 × 131072)
    floor (75089.5)     		tx = 75089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426624298095703 × 217)
    floor (0.426624298095703 × 131072)
    floor (55918.5)     		ty = 55918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75089 / 55918 ti = "17/75089/55918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75089/55918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75089 ÷ 217
    75089 ÷ 131072     		x = 0.572883605957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55918 ÷ 217
    55918 ÷ 131072     		y = 0.426620483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572883605957031 × 2 - 1) × π
    0.145767211914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45794120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426620483398438 × 2 - 1) × π
    0.146759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4610571005457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45794120} λ = 0.45794120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4610571005457))-π/2
    2×atan(1.5857493958513)-π/2
    2×1.00816825114859-π/2
    2.01633650229717-1.57079632675     		φ = 0.44554018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45794120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.238098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44554018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.527572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75089 KachelY 55918 0.45794120 0.44554018 26.238098 25.527572
    Oben rechts KachelX + 1 75090 KachelY 55918 0.45798914 0.44554018 26.240845 25.527572
    Unten links KachelX 75089 KachelY + 1 55919 0.45794120 0.44549692 26.238098 25.525093
    Unten rechts KachelX + 1 75090 KachelY + 1 55919 0.45798914 0.44549692 26.240845 25.525093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44554018-0.44549692) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44554018-0.44549692) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45794120-0.45798914) × cos(0.44554018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902378008981279 × 6371000     		do = 275.609471152972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45794120-0.45798914) × cos(0.44549692) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902396650834464 × 6371000     		du = 275.615164854776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44554018)-sin(0.44549692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902378008981279-0.902396650834464)×R²
    abs(0.45798914-0.45794120)×1.86418531851196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86418531851196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86418531851196e-05×40589641000000     		ar = 75961.362146306m²