Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75087 / 55499
↖ ↑ ↗
← N 26.561507°
E 26.232605°		 ← 273.19 m → N 26.561507°
E 26.235352°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
N 26.559050°
E 26.232605°		 ← 273.20 m →
74 633 m²		 N 26.559050°
E 26.235352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572872161865234 y=0.423427581787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572872161865234 × 217)
    floor (0.572872161865234 × 131072)
    floor (75087.5)     		tx = 75087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423427581787109 × 217)
    floor (0.423427581787109 × 131072)
    floor (55499.5)     		ty = 55499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75087 / 55499 ti = "17/75087/55499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75087/55499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75087 ÷ 217
    75087 ÷ 131072     		x = 0.572868347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55499 ÷ 217
    55499 ÷ 131072     		y = 0.423423767089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572868347167969 × 2 - 1) × π
    0.145736694335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.45784533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423423767089844 × 2 - 1) × π
    0.153152465820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.481142661486504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45784533} λ = 0.45784533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481142661486504))-π/2
    2×atan(1.61792208360776)-π/2
    2×1.0171910365293-π/2
    2.0343820730586-1.57079632675     		φ = 0.46358575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45784533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.232605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46358575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.561507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75087 KachelY 55499 0.45784533 0.46358575 26.232605 26.561507
    Oben rechts KachelX + 1 75088 KachelY 55499 0.45789327 0.46358575 26.235352 26.561507
    Unten links KachelX 75087 KachelY + 1 55500 0.45784533 0.46354287 26.232605 26.559050
    Unten rechts KachelX + 1 75088 KachelY + 1 55500 0.45789327 0.46354287 26.235352 26.559050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46358575-0.46354287) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dl = 273.188480000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46358575-0.46354287) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dr = 273.188480000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45784533-0.45789327) × cos(0.46358575) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894454853474784 × 6371000     		do = 273.189535519265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45784533-0.45789327) × cos(0.46354287) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894474026798921 × 6371000     		du = 273.195391545978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46358575)-sin(0.46354287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894454853474784-0.894474026798921)×R²
    abs(0.45789327-0.45784533)×1.91733241373671e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91733241373671e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91733241373671e-05×40589641000000     		ar = 74633.0338714108m²