Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75086 / 55870
↖ ↑ ↗
← N 25.646478°
E 26.229858°		 ← 275.34 m → N 25.646478°
E 26.232605°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
N 25.644003°
E 26.229858°		 ← 275.34 m →
75 798 m²		 N 25.644003°
E 26.232605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572864532470703 y=0.426258087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572864532470703 × 217)
    floor (0.572864532470703 × 131072)
    floor (75086.5)     		tx = 75086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426258087158203 × 217)
    floor (0.426258087158203 × 131072)
    floor (55870.5)     		ty = 55870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75086 / 55870 ti = "17/75086/55870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75086/55870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75086 ÷ 217
    75086 ÷ 131072     		x = 0.572860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55870 ÷ 217
    55870 ÷ 131072     		y = 0.426254272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572860717773438 × 2 - 1) × π
    0.145721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45779739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426254272460938 × 2 - 1) × π
    0.147491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.463358071727463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45779739} λ = 0.45779739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463358071727463))-π/2
    2×atan(1.58940236058423)-π/2
    2×1.00920590875028-π/2
    2.01841181750056-1.57079632675     		φ = 0.44761549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45779739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.229858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44761549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.646478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75086 KachelY 55870 0.45779739 0.44761549 26.229858 25.646478
    Oben rechts KachelX + 1 75087 KachelY 55870 0.45784533 0.44761549 26.232605 25.646478
    Unten links KachelX 75086 KachelY + 1 55871 0.45779739 0.44757228 26.229858 25.644003
    Unten rechts KachelX + 1 75087 KachelY + 1 55871 0.45784533 0.44757228 26.232605 25.644003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44761549-0.44757228) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dl = 275.2909100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44761549-0.44757228) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dr = 275.2909100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45779739-0.45784533) × cos(0.44761549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901481721116092 × 6371000     		do = 275.335721768176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45779739-0.45784533) × cos(0.44757228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901500422304614 × 6371000     		du = 275.341433592519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44761549)-sin(0.44757228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901481721116092-0.901500422304614)×R²
    abs(0.45784533-0.45779739)×1.87011885218746e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87011885218746e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87011885218746e-05×40589641000000     		ar = 75798.2076195354m²