Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75085 / 57037
↖ ↑ ↗
← N 22.722990°
E 26.227112°		 ← 281.72 m → N 22.722990°
E 26.229858°		 →
↑
281.73 m
↓
↑
281.73 m
↓
N 22.720457°
E 26.227112°		 ← 281.72 m →
79 368 m²		 N 22.720457°
E 26.229858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572856903076172 y=0.435161590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572856903076172 × 217)
    floor (0.572856903076172 × 131072)
    floor (75085.5)     		tx = 75085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435161590576172 × 217)
    floor (0.435161590576172 × 131072)
    floor (57037.5)     		ty = 57037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75085 / 57037 ti = "17/75085/57037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75085/57037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75085 ÷ 217
    75085 ÷ 131072     		x = 0.572853088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57037 ÷ 217
    57037 ÷ 131072     		y = 0.435157775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572853088378906 × 2 - 1) × π
    0.145706176757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45774945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435157775878906 × 2 - 1) × π
    0.129684448242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.407415709870857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45774945} λ = 0.45774945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407415709870857))-π/2
    2×atan(1.50292875813581)-π/2
    2×0.983693662874065-π/2
    1.96738732574813-1.57079632675     		φ = 0.39659100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45774945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.227112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39659100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.722990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75085 KachelY 57037 0.45774945 0.39659100 26.227112 22.722990
    Oben rechts KachelX + 1 75086 KachelY 57037 0.45779739 0.39659100 26.229858 22.722990
    Unten links KachelX 75085 KachelY + 1 57038 0.45774945 0.39654678 26.227112 22.720457
    Unten rechts KachelX + 1 75086 KachelY + 1 57038 0.45779739 0.39654678 26.229858 22.720457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39659100-0.39654678) × R
    4.42200000000392e-05 × 6371000     		dl = 281.72562000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39659100-0.39654678) × R
    4.42200000000392e-05 × 6371000     		dr = 281.72562000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45774945-0.45779739) × cos(0.39659100) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.922383166611424 × 6371000     		do = 281.719561225979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45774945-0.45779739) × cos(0.39654678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.922400246842665 × 6371000     		du = 281.724777968245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39659100)-sin(0.39654678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922383166611424-0.922400246842665)×R²
    abs(0.45779739-0.45774945)×1.70802312405849e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.70802312405849e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.70802312405849e-05×40589641000000     		ar = 79368.3529105316m²