Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75085 / 55627
↖ ↑ ↗
← N 26.246620°
E 26.227112°		 ← 273.94 m → N 26.246620°
E 26.229858°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 26.244156°
E 26.227112°		 ← 273.94 m →
75 029 m²		 N 26.244156°
E 26.229858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572856903076172 y=0.424404144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572856903076172 × 217)
    floor (0.572856903076172 × 131072)
    floor (75085.5)     		tx = 75085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424404144287109 × 217)
    floor (0.424404144287109 × 131072)
    floor (55627.5)     		ty = 55627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75085 / 55627 ti = "17/75085/55627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75085/55627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75085 ÷ 217
    75085 ÷ 131072     		x = 0.572853088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55627 ÷ 217
    55627 ÷ 131072     		y = 0.424400329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572853088378906 × 2 - 1) × π
    0.145706176757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45774945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424400329589844 × 2 - 1) × π
    0.151199340820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.475006738335136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45774945} λ = 0.45774945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475006738335136))-π/2
    2×atan(1.60802503286086)-π/2
    2×1.01444312917483-π/2
    2.02888625834965-1.57079632675     		φ = 0.45808993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45774945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.227112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45808993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.246620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75085 KachelY 55627 0.45774945 0.45808993 26.227112 26.246620
    Oben rechts KachelX + 1 75086 KachelY 55627 0.45779739 0.45808993 26.229858 26.246620
    Unten links KachelX 75085 KachelY + 1 55628 0.45774945 0.45804694 26.227112 26.244156
    Unten rechts KachelX + 1 75086 KachelY + 1 55628 0.45779739 0.45804694 26.229858 26.244156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45808993-0.45804694) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dl = 273.889289999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45808993-0.45804694) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dr = 273.889289999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45774945-0.45779739) × cos(0.45808993) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896898834406713 × 6371000     		do = 273.935990203945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45774945-0.45779739) × cos(0.45804694) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896917845293884 × 6371000     		du = 273.941796618228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45808993)-sin(0.45804694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896898834406713-0.896917845293884)×R²
    abs(0.45779739-0.45774945)×1.90108871712669e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90108871712669e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90108871712669e-05×40589641000000     		ar = 75028.9290312341m²