Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75084 / 56277
↖ ↑ ↗
← N 24.634535°
E 26.224365°		 ← 277.57 m → N 24.634535°
E 26.227112°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
N 24.632038°
E 26.224365°		 ← 277.58 m →
77 050 m²		 N 24.632038°
E 26.227112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572849273681641 y=0.429363250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572849273681641 × 217)
    floor (0.572849273681641 × 131072)
    floor (75084.5)     		tx = 75084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429363250732422 × 217)
    floor (0.429363250732422 × 131072)
    floor (56277.5)     		ty = 56277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75084 / 56277 ti = "17/75084/56277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75084/56277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75084 ÷ 217
    75084 ÷ 131072     		x = 0.572845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56277 ÷ 217
    56277 ÷ 131072     		y = 0.429359436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572845458984375 × 2 - 1) × π
    0.14569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45770152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429359436035156 × 2 - 1) × π
    0.141281127929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.4438477535821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45770152} λ = 0.45770152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4438477535821))-π/2
    2×atan(1.55869316210601)-π/2
    2×1.00037503416513-π/2
    2.00075006833027-1.57079632675     		φ = 0.42995374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45770152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.224365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42995374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.634535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75084 KachelY 56277 0.45770152 0.42995374 26.224365 24.634535
    Oben rechts KachelX + 1 75085 KachelY 56277 0.45774945 0.42995374 26.227112 24.634535
    Unten links KachelX 75084 KachelY + 1 56278 0.45770152 0.42991017 26.224365 24.632038
    Unten rechts KachelX + 1 75085 KachelY + 1 56278 0.45774945 0.42991017 26.227112 24.632038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42995374-0.42991017) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42995374-0.42991017) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45770152-0.45774945) × cos(0.42995374) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908985033145611 × 6371000     		do = 277.569514961131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45770152-0.45774945) × cos(0.42991017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.9090031935116 × 6371000     		du = 277.575060447355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42995374)-sin(0.42991017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908985033145611-0.9090031935116)×R²
    abs(0.45774945-0.45770152)×1.81603659887841e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81603659887841e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81603659887841e-05×40589641000000     		ar = 77049.7563812765m²