Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75084 / 55226
↖ ↑ ↗
← N 27.230211°
E 26.224365°		 ← 271.52 m → N 27.230211°
E 26.227112°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 27.227768°
E 26.224365°		 ← 271.53 m →
73 745 m²		 N 27.227768°
E 26.227112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572849273681641 y=0.421344757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572849273681641 × 217)
    floor (0.572849273681641 × 131072)
    floor (75084.5)     		tx = 75084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421344757080078 × 217)
    floor (0.421344757080078 × 131072)
    floor (55226.5)     		ty = 55226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75084 / 55226 ti = "17/75084/55226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75084/55226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75084 ÷ 217
    75084 ÷ 131072     		x = 0.572845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55226 ÷ 217
    55226 ÷ 131072     		y = 0.421340942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572845458984375 × 2 - 1) × π
    0.14569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45770152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421340942382812 × 2 - 1) × π
    0.157318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.494229435082779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45770152} λ = 0.45770152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494229435082779))-π/2
    2×atan(1.63923461558175)-π/2
    2×1.02302657652121-π/2
    2.04605315304242-1.57079632675     		φ = 0.47525683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45770152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.224365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47525683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.230211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75084 KachelY 55226 0.45770152 0.47525683 26.224365 27.230211
    Oben rechts KachelX + 1 75085 KachelY 55226 0.45774945 0.47525683 26.227112 27.230211
    Unten links KachelX 75084 KachelY + 1 55227 0.45770152 0.47521420 26.224365 27.227768
    Unten rechts KachelX + 1 75085 KachelY + 1 55227 0.45774945 0.47521420 26.227112 27.227768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47525683-0.47521420) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dl = 271.595730000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47525683-0.47521420) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dr = 271.595730000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45770152-0.45774945) × cos(0.47525683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889175234061464 × 6371000     		do = 271.5203544989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45770152-0.45774945) × cos(0.47521420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889194739327427 × 6371000     		du = 271.52631066651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47525683)-sin(0.47521420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889175234061464-0.889194739327427)×R²
    abs(0.45774945-0.45770152)×1.95052659638373e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95052659638373e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95052659638373e-05×40589641000000     		ar = 73744.5777360902m²