Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75082 / 55497
↖ ↑ ↗
← N 26.566420°
E 26.218872°		 ← 273.18 m → N 26.566420°
E 26.221619°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
N 26.563963°
E 26.218872°		 ← 273.18 m →
74 630 m²		 N 26.563963°
E 26.221619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572834014892578 y=0.423412322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572834014892578 × 217)
    floor (0.572834014892578 × 131072)
    floor (75082.5)     		tx = 75082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423412322998047 × 217)
    floor (0.423412322998047 × 131072)
    floor (55497.5)     		ty = 55497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75082 / 55497 ti = "17/75082/55497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75082/55497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75082 ÷ 217
    75082 ÷ 131072     		x = 0.572830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55497 ÷ 217
    55497 ÷ 131072     		y = 0.423408508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572830200195312 × 2 - 1) × π
    0.145660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45760564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423408508300781 × 2 - 1) × π
    0.153182983398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.481238535285744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45760564} λ = 0.45760564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481238535285744))-π/2
    2×atan(1.61807720738082)-π/2
    2×1.01723391300278-π/2
    2.03446782600555-1.57079632675     		φ = 0.46367150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45760564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.218872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46367150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.566420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75082 KachelY 55497 0.45760564 0.46367150 26.218872 26.566420
    Oben rechts KachelX + 1 75083 KachelY 55497 0.45765358 0.46367150 26.221619 26.566420
    Unten links KachelX 75082 KachelY + 1 55498 0.45760564 0.46362862 26.218872 26.563963
    Unten rechts KachelX + 1 75083 KachelY + 1 55498 0.45765358 0.46362862 26.221619 26.563963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46367150-0.46362862) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dl = 273.188480000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46367150-0.46362862) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dr = 273.188480000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45760564-0.45765358) × cos(0.46367150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894416506365007 × 6371000     		do = 273.177823324884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45760564-0.45765358) × cos(0.46362862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894435682977984 × 6371000     		du = 273.183680356093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46367150)-sin(0.46362862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894416506365007-0.894435682977984)×R²
    abs(0.45765358-0.45760564)×1.91766129767901e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91766129767901e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91766129767901e-05×40589641000000     		ar = 74629.8343720153m²