Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75081 / 56280
↖ ↑ ↗
← N 24.627045°
E 26.216126°		 ← 277.59 m → N 24.627045°
E 26.218872°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.624548°
E 26.216126°		 ← 277.59 m →
77 072 m²		 N 24.624548°
E 26.218872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572826385498047 y=0.429386138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572826385498047 × 217)
    floor (0.572826385498047 × 131072)
    floor (75081.5)     		tx = 75081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429386138916016 × 217)
    floor (0.429386138916016 × 131072)
    floor (56280.5)     		ty = 56280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75081 / 56280 ti = "17/75081/56280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75081/56280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75081 ÷ 217
    75081 ÷ 131072     		x = 0.572822570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56280 ÷ 217
    56280 ÷ 131072     		y = 0.42938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572822570800781 × 2 - 1) × π
    0.145645141601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45755771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42938232421875 × 2 - 1) × π
    0.1412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.44370394288324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45755771} λ = 0.45755771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44370394288324))-π/2
    2×atan(1.55846902147036)-π/2
    2×1.00030967131988-π/2
    2.00061934263976-1.57079632675     		φ = 0.42982302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45755771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.216126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42982302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.627045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75081 KachelY 56280 0.45755771 0.42982302 26.216126 24.627045
    Oben rechts KachelX + 1 75082 KachelY 56280 0.45760564 0.42982302 26.218872 24.627045
    Unten links KachelX 75081 KachelY + 1 56281 0.45755771 0.42977944 26.216126 24.624548
    Unten rechts KachelX + 1 75082 KachelY + 1 56281 0.45760564 0.42977944 26.218872 24.624548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42982302-0.42977944) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dl = 277.648179999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42982302-0.42977944) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dr = 277.648179999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45755771-0.45760564) × cos(0.42982302) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.909039513233837 × 6371000     		do = 277.586151111145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45755771-0.45760564) × cos(0.42977944) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.909057672589225 × 6371000     		du = 277.59169628877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42982302)-sin(0.42977944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909039513233837-0.909057672589225)×R²
    abs(0.45760564-0.45755771)×1.81593553878479e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.81593553878479e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.81593553878479e-05×40589641000000     		ar = 77072.05946563m²