Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75081 / 55629
↖ ↑ ↗
← N 26.241693°
E 26.216126°		 ← 273.89 m → N 26.241693°
E 26.218872°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
N 26.239229°
E 26.216126°		 ← 273.90 m →
75 034 m²		 N 26.239229°
E 26.218872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572826385498047 y=0.424419403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572826385498047 × 217)
    floor (0.572826385498047 × 131072)
    floor (75081.5)     		tx = 75081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424419403076172 × 217)
    floor (0.424419403076172 × 131072)
    floor (55629.5)     		ty = 55629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75081 / 55629 ti = "17/75081/55629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75081/55629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75081 ÷ 217
    75081 ÷ 131072     		x = 0.572822570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55629 ÷ 217
    55629 ÷ 131072     		y = 0.424415588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572822570800781 × 2 - 1) × π
    0.145645141601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45755771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424415588378906 × 2 - 1) × π
    0.151168823242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.474910864535896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45755771} λ = 0.45755771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474910864535896))-π/2
    2×atan(1.60787087278176)-π/2
    2×1.01440013371405-π/2
    2.02880026742809-1.57079632675     		φ = 0.45800394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45755771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.216126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45800394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.241693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75081 KachelY 55629 0.45755771 0.45800394 26.216126 26.241693
    Oben rechts KachelX + 1 75082 KachelY 55629 0.45760564 0.45800394 26.218872 26.241693
    Unten links KachelX 75081 KachelY + 1 55630 0.45755771 0.45796094 26.216126 26.239229
    Unten rechts KachelX + 1 75082 KachelY + 1 55630 0.45760564 0.45796094 26.218872 26.239229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45800394-0.45796094) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45800394-0.45796094) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45755771-0.45760564) × cos(0.45800394) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896936858945012 × 6371000     		do = 273.890460029123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45755771-0.45760564) × cos(0.45796094) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896955870937704 × 6371000     		du = 273.896265569806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45800394)-sin(0.45796094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896936858945012-0.896955870937704)×R²
    abs(0.45760564-0.45755771)×1.90119926918308e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90119926918308e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90119926918308e-05×40589641000000     		ar = 75033.9084306165m²