Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7508 / 10532
↖ ↑ ↗
← S 45.644768°
W 15.029297°		 ← 1 708.06 m → S 45.644768°
W 15.007324°		 →
↑
1 707.87 m
↓
↑
1 707.87 m
↓
S 45.660127°
W 15.029297°		 ← 1 707.60 m →
2 916 757 m²		 S 45.660127°
W 15.007324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458282470703125 y=0.642852783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458282470703125 × 214)
    floor (0.458282470703125 × 16384)
    floor (7508.5)     		tx = 7508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642852783203125 × 214)
    floor (0.642852783203125 × 16384)
    floor (10532.5)     		ty = 10532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7508 / 10532 ti = "14/7508/10532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7508/10532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7508 ÷ 214
    7508 ÷ 16384     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10532 ÷ 214
    10532 ÷ 16384     		y = 0.642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.28564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.897378760887451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897378760887451))-π/2
    2×atan(0.407636774004507)-π/2
    2×0.387072417551696-π/2
    0.774144835103393-1.57079632675     		φ = -0.79665149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79665149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.644768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7508 KachelY 10532 -0.26231071 -0.79665149 -15.029297 -45.644768
    Oben rechts KachelX + 1 7509 KachelY 10532 -0.26192722 -0.79665149 -15.007324 -45.644768
    Unten links KachelX 7508 KachelY + 1 10533 -0.26231071 -0.79691956 -15.029297 -45.660127
    Unten rechts KachelX + 1 7509 KachelY + 1 10533 -0.26192722 -0.79691956 -15.007324 -45.660127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79665149--0.79691956) × R
    0.000268069999999954 × 6371000     		dl = 1707.8739699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79665149--0.79691956) × R
    0.000268069999999954 × 6371000     		dr = 1707.8739699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26192722) × cos(-0.79665149) × R
    0.000383489999999986 × 0.699104872987187 × 6371000     		do = 1708.06336544331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26192722) × cos(-0.79691956) × R
    0.000383489999999986 × 0.698913172688128 × 6371000     		du = 1707.5950004374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79665149)-sin(-0.79691956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699104872987187-0.698913172688128)×R²
    abs(-0.26192722--0.26231071)×0.000191700299059683×R²
    0.000383489999999986×0.000191700299059683×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191700299059683×40589641000000     		ar = 2916757.02421531m²