Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7508 / 10298
↖ ↑ ↗
← S 41.934976°
W 15.029297°		 ← 1 817.52 m → S 41.934976°
W 15.007324°		 →
↑
1 817.33 m
↓
↑
1 817.33 m
↓
S 41.951320°
W 15.029297°		 ← 1 817.05 m →
3 302 600 m²		 S 41.951320°
W 15.007324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458282470703125 y=0.628570556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458282470703125 × 214)
    floor (0.458282470703125 × 16384)
    floor (7508.5)     		tx = 7508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628570556640625 × 214)
    floor (0.628570556640625 × 16384)
    floor (10298.5)     		ty = 10298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7508 / 10298 ti = "14/7508/10298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7508/10298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7508 ÷ 214
    7508 ÷ 16384     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10298 ÷ 214
    10298 ÷ 16384     		y = 0.6285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.257080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.807640884798706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807640884798706))-π/2
    2×atan(0.445908776535417)-π/2
    2×0.419446457565541-π/2
    0.838892915131081-1.57079632675     		φ = -0.73190341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73190341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.934976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7508 KachelY 10298 -0.26231071 -0.73190341 -15.029297 -41.934976
    Oben rechts KachelX + 1 7509 KachelY 10298 -0.26192722 -0.73190341 -15.007324 -41.934976
    Unten links KachelX 7508 KachelY + 1 10299 -0.26231071 -0.73218866 -15.029297 -41.951320
    Unten rechts KachelX + 1 7509 KachelY + 1 10299 -0.26192722 -0.73218866 -15.007324 -41.951320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73190341--0.73218866) × R
    0.000285250000000015 × 6371000     		dl = 1817.32775000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73190341--0.73218866) × R
    0.000285250000000015 × 6371000     		dr = 1817.32775000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26192722) × cos(-0.73190341) × R
    0.000383489999999986 × 0.743903726907657 × 6371000     		do = 1817.51658791684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26192722) × cos(-0.73218866) × R
    0.000383489999999986 × 0.743713067836144 × 6371000     		du = 1817.05076685348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73190341)-sin(-0.73218866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743903726907657-0.743713067836144)×R²
    abs(-0.26192722--0.26231071)×0.0001906590715125×R²
    0.000383489999999986×0.0001906590715125×6371000²
    0.000383489999999986×0.0001906590715125×40589641000000     		ar = 3302600.07892749m²