Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75079 / 57108
↖ ↑ ↗
← N 22.543001°
E 26.210632°		 ← 282.09 m → N 22.543001°
E 26.213379°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.540464°
E 26.210632°		 ← 282.09 m →
79 562 m²		 N 22.540464°
E 26.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572811126708984 y=0.435703277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572811126708984 × 217)
    floor (0.572811126708984 × 131072)
    floor (75079.5)     		tx = 75079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435703277587891 × 217)
    floor (0.435703277587891 × 131072)
    floor (57108.5)     		ty = 57108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75079 / 57108 ti = "17/75079/57108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75079/57108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75079 ÷ 217
    75079 ÷ 131072     		x = 0.572807312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57108 ÷ 217
    57108 ÷ 131072     		y = 0.435699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572807312011719 × 2 - 1) × π
    0.145614624023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45746183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435699462890625 × 2 - 1) × π
    0.12860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.404012189997833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45746183} λ = 0.45746183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404012189997833))-π/2
    2×atan(1.49782220529629)-π/2
    2×0.982122958459915-π/2
    1.96424591691983-1.57079632675     		φ = 0.39344959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45746183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.210632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39344959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.543001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75079 KachelY 57108 0.45746183 0.39344959 26.210632 22.543001
    Oben rechts KachelX + 1 75080 KachelY 57108 0.45750977 0.39344959 26.213379 22.543001
    Unten links KachelX 75079 KachelY + 1 57109 0.45746183 0.39340532 26.210632 22.540464
    Unten rechts KachelX + 1 75080 KachelY + 1 57109 0.45750977 0.39340532 26.213379 22.540464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39344959-0.39340532) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39344959-0.39340532) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45746183-0.45750977) × cos(0.39344959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923592065252066 × 6371000     		do = 282.088789987555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45746183-0.45750977) × cos(0.39340532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923609036433694 × 6371000     		du = 282.093973423263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39344959)-sin(0.39340532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923592065252066-0.923609036433694)×R²
    abs(0.45750977-0.45746183)×1.69711816278006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69711816278006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69711816278006e-05×40589641000000     		ar = 79562.2296302589m²