Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75077 / 55623
↖ ↑ ↗
← N 26.256473°
E 26.205139°		 ← 273.91 m → N 26.256473°
E 26.207886°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 26.254010°
E 26.205139°		 ← 273.92 m →
75 023 m²		 N 26.254010°
E 26.207886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572795867919922 y=0.424373626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572795867919922 × 217)
    floor (0.572795867919922 × 131072)
    floor (75077.5)     		tx = 75077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424373626708984 × 217)
    floor (0.424373626708984 × 131072)
    floor (55623.5)     		ty = 55623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75077 / 55623 ti = "17/75077/55623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75077/55623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75077 ÷ 217
    75077 ÷ 131072     		x = 0.572792053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55623 ÷ 217
    55623 ÷ 131072     		y = 0.424369812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572792053222656 × 2 - 1) × π
    0.145584106445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45736596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424369812011719 × 2 - 1) × π
    0.151260375976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.475198485933617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45736596} λ = 0.45736596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475198485933617))-π/2
    2×atan(1.60833339736233)-π/2
    2×1.01452911462739-π/2
    2.02905822925479-1.57079632675     		φ = 0.45826190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45736596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.205139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45826190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.256473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75077 KachelY 55623 0.45736596 0.45826190 26.205139 26.256473
    Oben rechts KachelX + 1 75078 KachelY 55623 0.45741390 0.45826190 26.207886 26.256473
    Unten links KachelX 75077 KachelY + 1 55624 0.45736596 0.45821891 26.205139 26.254010
    Unten rechts KachelX + 1 75078 KachelY + 1 55624 0.45741390 0.45821891 26.207886 26.254010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45826190-0.45821891) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dl = 273.889290000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45826190-0.45821891) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dr = 273.889290000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45736596-0.45741390) × cos(0.45826190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896822769858531 × 6371000     		do = 273.912758132712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45736596-0.45741390) × cos(0.45821891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896841787376256 × 6371000     		du = 273.918566572136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45826190)-sin(0.45821891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896822769858531-0.896841787376256)×R²
    abs(0.45741390-0.45736596)×1.90175177249285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90175177249285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90175177249285e-05×40589641000000     		ar = 75022.566293129m²