Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75077 / 55492
↖ ↑ ↗
← N 26.578703°
E 26.205139°		 ← 273.15 m → N 26.578703°
E 26.207886°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
N 26.576246°
E 26.205139°		 ← 273.15 m →
74 622 m²		 N 26.576246°
E 26.207886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572795867919922 y=0.423374176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572795867919922 × 217)
    floor (0.572795867919922 × 131072)
    floor (75077.5)     		tx = 75077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423374176025391 × 217)
    floor (0.423374176025391 × 131072)
    floor (55492.5)     		ty = 55492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75077 / 55492 ti = "17/75077/55492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75077/55492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75077 ÷ 217
    75077 ÷ 131072     		x = 0.572792053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55492 ÷ 217
    55492 ÷ 131072     		y = 0.423370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572792053222656 × 2 - 1) × π
    0.145584106445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45736596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423370361328125 × 2 - 1) × π
    0.15325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.481478219783844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45736596} λ = 0.45736596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481478219783844))-π/2
    2×atan(1.61846508188606)-π/2
    2×1.01734109614284-π/2
    2.03468219228568-1.57079632675     		φ = 0.46388587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45736596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.205139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46388587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.578703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75077 KachelY 55492 0.45736596 0.46388587 26.205139 26.578703
    Oben rechts KachelX + 1 75078 KachelY 55492 0.45741390 0.46388587 26.207886 26.578703
    Unten links KachelX 75077 KachelY + 1 55493 0.45736596 0.46384299 26.205139 26.576246
    Unten rechts KachelX + 1 75078 KachelY + 1 55493 0.45741390 0.46384299 26.207886 26.576246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46388587-0.46384299) × R
    4.28799999999674e-05 × 6371000     		dl = 273.188479999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46388587-0.46384299) × R
    4.28799999999674e-05 × 6371000     		dr = 273.188479999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45736596-0.45741390) × cos(0.46388587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89432061205525 × 6371000     		do = 273.148534734049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45736596-0.45741390) × cos(0.46384299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894339796889517 × 6371000     		du = 273.154394276251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46388587)-sin(0.46384299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89432061205525-0.894339796889517)×R²
    abs(0.45741390-0.45736596)×1.91848342667722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91848342667722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91848342667722e-05×40589641000000     		ar = 74621.8334093549m²