Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75075 / 59973
↖ ↑ ↗
← N 15.101294°
E 26.199646°		 ← 294.82 m → N 15.101294°
E 26.202392°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.098643°
E 26.199646°		 ← 294.82 m →
86 927 m²		 N 15.098643°
E 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572780609130859 y=0.457561492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572780609130859 × 217)
    floor (0.572780609130859 × 131072)
    floor (75075.5)     		tx = 75075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457561492919922 × 217)
    floor (0.457561492919922 × 131072)
    floor (59973.5)     		ty = 59973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75075 / 59973 ti = "17/75075/59973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75075/59973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75075 ÷ 217
    75075 ÷ 131072     		x = 0.572776794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59973 ÷ 217
    59973 ÷ 131072     		y = 0.457557678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572776794433594 × 2 - 1) × π
    0.145553588867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45727009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457557678222656 × 2 - 1) × π
    0.0848846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266672972586372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45727009} λ = 0.45727009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266672972586372))-π/2
    2×atan(1.30561340513229)-π/2
    2×0.917181819592289-π/2
    1.83436363918458-1.57079632675     		φ = 0.26356731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45727009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.199646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26356731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.101294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75075 KachelY 59973 0.45727009 0.26356731 26.199646 15.101294
    Oben rechts KachelX + 1 75076 KachelY 59973 0.45731802 0.26356731 26.202392 15.101294
    Unten links KachelX 75075 KachelY + 1 59974 0.45727009 0.26352103 26.199646 15.098643
    Unten rechts KachelX + 1 75076 KachelY + 1 59974 0.45731802 0.26352103 26.202392 15.098643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26356731-0.26352103) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dl = 294.849880000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26356731-0.26352103) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dr = 294.849880000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45727009-0.45731802) × cos(0.26356731) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.965466745067776 × 6371000     		do = 294.816885171228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45727009-0.45731802) × cos(0.26352103) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.965478801191992 × 6371000     		du = 294.820566653792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26356731)-sin(0.26352103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965466745067776-0.965478801191992)×R²
    abs(0.45731802-0.45727009)×1.20561242155093e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.20561242155093e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.20561242155093e-05×40589641000000     		ar = 86927.2659726276m²