Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75075 / 55875
↖ ↑ ↗
← N 25.634098°
E 26.199646°		 ← 275.31 m → N 25.634098°
E 26.202392°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
N 25.631622°
E 26.199646°		 ← 275.31 m →
75 808 m²		 N 25.631622°
E 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572780609130859 y=0.426296234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572780609130859 × 217)
    floor (0.572780609130859 × 131072)
    floor (75075.5)     		tx = 75075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426296234130859 × 217)
    floor (0.426296234130859 × 131072)
    floor (55875.5)     		ty = 55875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75075 / 55875 ti = "17/75075/55875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75075/55875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75075 ÷ 217
    75075 ÷ 131072     		x = 0.572776794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55875 ÷ 217
    55875 ÷ 131072     		y = 0.426292419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572776794433594 × 2 - 1) × π
    0.145553588867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45727009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426292419433594 × 2 - 1) × π
    0.147415161132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.463118387229362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45727009} λ = 0.45727009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463118387229362))-π/2
    2×atan(1.58902145112802)-π/2
    2×1.00909786755025-π/2
    2.01819573510049-1.57079632675     		φ = 0.44739941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45727009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.199646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44739941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.634098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75075 KachelY 55875 0.45727009 0.44739941 26.199646 25.634098
    Oben rechts KachelX + 1 75076 KachelY 55875 0.45731802 0.44739941 26.202392 25.634098
    Unten links KachelX 75075 KachelY + 1 55876 0.45727009 0.44735619 26.199646 25.631622
    Unten rechts KachelX + 1 75076 KachelY + 1 55876 0.45731802 0.44735619 26.202392 25.631622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44739941-0.44735619) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dl = 275.354620000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44739941-0.44735619) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dr = 275.354620000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45727009-0.45731802) × cos(0.44739941) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.901575223205073 × 6371000     		do = 275.306840355454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45727009-0.45731802) × cos(0.44735619) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.901593920301935 × 6371000     		du = 275.312549738907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44739941)-sin(0.44735619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901575223205073-0.901593920301935)×R²
    abs(0.45731802-0.45727009)×1.86970968624189e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86970968624189e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86970968624189e-05×40589641000000     		ar = 75807.7964739267m²