Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75075 / 55621
↖ ↑ ↗
← N 26.261399°
E 26.199646°		 ← 273.84 m → N 26.261399°
E 26.202392°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 26.258936°
E 26.199646°		 ← 273.85 m →
75 004 m²		 N 26.258936°
E 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572780609130859 y=0.424358367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572780609130859 × 217)
    floor (0.572780609130859 × 131072)
    floor (75075.5)     		tx = 75075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424358367919922 × 217)
    floor (0.424358367919922 × 131072)
    floor (55621.5)     		ty = 55621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75075 / 55621 ti = "17/75075/55621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75075/55621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75075 ÷ 217
    75075 ÷ 131072     		x = 0.572776794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55621 ÷ 217
    55621 ÷ 131072     		y = 0.424354553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572776794433594 × 2 - 1) × π
    0.145553588867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45727009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424354553222656 × 2 - 1) × π
    0.151290893554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.475294359732857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45727009} λ = 0.45727009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475294359732857))-π/2
    2×atan(1.60848760178755)-π/2
    2×1.0145721046187-π/2
    2.02914420923739-1.57079632675     		φ = 0.45834788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45727009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.199646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45834788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.261399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75075 KachelY 55621 0.45727009 0.45834788 26.199646 26.261399
    Oben rechts KachelX + 1 75076 KachelY 55621 0.45731802 0.45834788 26.202392 26.261399
    Unten links KachelX 75075 KachelY + 1 55622 0.45727009 0.45830489 26.199646 26.258936
    Unten rechts KachelX + 1 75076 KachelY + 1 55622 0.45731802 0.45830489 26.202392 26.258936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45834788-0.45830489) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dl = 273.889289999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45834788-0.45830489) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dr = 273.889289999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45727009-0.45731802) × cos(0.45834788) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896784729850755 × 6371000     		do = 273.844005580078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45727009-0.45731802) × cos(0.45830489) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896803750683352 × 6371000     		du = 273.849813820133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45834788)-sin(0.45830489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896784729850755-0.896803750683352)×R²
    abs(0.45731802-0.45727009)×1.90208325978602e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90208325978602e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90208325978602e-05×40589641000000     		ar = 75003.7356779642m²