Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75074 / 56129
↖ ↑ ↗
← N 25.003483°
E 26.196899°		 ← 276.80 m → N 25.003483°
E 26.199646°		 →
↑
276.76 m
↓
↑
276.76 m
↓
N 25.000994°
E 26.196899°		 ← 276.81 m →
76 607 m²		 N 25.000994°
E 26.199646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572772979736328 y=0.428234100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572772979736328 × 217)
    floor (0.572772979736328 × 131072)
    floor (75074.5)     		tx = 75074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428234100341797 × 217)
    floor (0.428234100341797 × 131072)
    floor (56129.5)     		ty = 56129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75074 / 56129 ti = "17/75074/56129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75074/56129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75074 ÷ 217
    75074 ÷ 131072     		x = 0.572769165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56129 ÷ 217
    56129 ÷ 131072     		y = 0.428230285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572769165039062 × 2 - 1) × π
    0.145538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45722215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428230285644531 × 2 - 1) × π
    0.143539428710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.450942414725868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45722215} λ = 0.45722215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450942414725868))-π/2
    2×atan(1.56979088265208)-π/2
    2×1.00359471919239-π/2
    2.00718943838479-1.57079632675     		φ = 0.43639311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45722215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.196899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43639311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.003483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75074 KachelY 56129 0.45722215 0.43639311 26.196899 25.003483
    Oben rechts KachelX + 1 75075 KachelY 56129 0.45727009 0.43639311 26.199646 25.003483
    Unten links KachelX 75074 KachelY + 1 56130 0.45722215 0.43634967 26.196899 25.000994
    Unten rechts KachelX + 1 75075 KachelY + 1 56130 0.45727009 0.43634967 26.199646 25.000994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43639311-0.43634967) × R
    4.34399999999502e-05 × 6371000     		dl = 276.756239999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43639311-0.43634967) × R
    4.34399999999502e-05 × 6371000     		dr = 276.756239999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45722215-0.45727009) × cos(0.43639311) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906282091438626 × 6371000     		do = 276.801878426529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45722215-0.45727009) × cos(0.43634967) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.906300451514363 × 6371000     		du = 276.807486066247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43639311)-sin(0.43634967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906282091438626-0.906300451514363)×R²
    abs(0.45727009-0.45722215)×1.83600757365232e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83600757365232e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83600757365232e-05×40589641000000     		ar = 76607.4230848892m²