Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75072 / 59996
↖ ↑ ↗
← N 15.040296°
E 26.191406°		 ← 294.96 m → N 15.040296°
E 26.194153°		 →
↑
294.98 m
↓
↑
294.98 m
↓
N 15.037643°
E 26.191406°		 ← 294.97 m →
87 008 m²		 N 15.037643°
E 26.194153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572757720947266 y=0.457736968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572757720947266 × 217)
    floor (0.572757720947266 × 131072)
    floor (75072.5)     		tx = 75072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457736968994141 × 217)
    floor (0.457736968994141 × 131072)
    floor (59996.5)     		ty = 59996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75072 / 59996 ti = "17/75072/59996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75072/59996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75072 ÷ 217
    75072 ÷ 131072     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59996 ÷ 217
    59996 ÷ 131072     		y = 0.457733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457733154296875 × 2 - 1) × π
    0.08453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.265570423895111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265570423895111))-π/2
    2×atan(1.30417469605032)-π/2
    2×0.916649506197075-π/2
    1.83329901239415-1.57079632675     		φ = 0.26250269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26250269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.040296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75072 KachelY 59996 0.45712627 0.26250269 26.191406 15.040296
    Oben rechts KachelX + 1 75073 KachelY 59996 0.45717421 0.26250269 26.194153 15.040296
    Unten links KachelX 75072 KachelY + 1 59997 0.45712627 0.26245639 26.191406 15.037643
    Unten rechts KachelX + 1 75073 KachelY + 1 59997 0.45717421 0.26245639 26.194153 15.037643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26250269-0.26245639) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.977299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26250269-0.26245639) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.977299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.45717421) × cos(0.26250269) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.965743559410171 × 6371000     		do = 294.962941283234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.45717421) × cos(0.26245639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.9657555731472 × 6371000     		du = 294.966610587756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26250269)-sin(0.26245639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965743559410171-0.9657555731472)×R²
    abs(0.45717421-0.45712627)×1.20137370285267e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.20137370285267e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.20137370285267e-05×40589641000000     		ar = 87007.9132160946m²