Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75072 / 55616
↖ ↑ ↗
← N 26.273714°
E 26.191406°		 ← 273.87 m → N 26.273714°
E 26.194153°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 26.271251°
E 26.191406°		 ← 273.88 m →
75 011 m²		 N 26.271251°
E 26.194153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572757720947266 y=0.424320220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572757720947266 × 217)
    floor (0.572757720947266 × 131072)
    floor (75072.5)     		tx = 75072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424320220947266 × 217)
    floor (0.424320220947266 × 131072)
    floor (55616.5)     		ty = 55616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75072 / 55616 ti = "17/75072/55616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75072/55616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75072 ÷ 217
    75072 ÷ 131072     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55616 ÷ 217
    55616 ÷ 131072     		y = 0.42431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475534044230957))-π/2
    2×atan(1.6088731775375)-π/2
    2×1.01467957161801-π/2
    2.02935914323601-1.57079632675     		φ = 0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75072 KachelY 55616 0.45712627 0.45856282 26.191406 26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 75073 KachelY 55616 0.45717421 0.45856282 26.194153 26.273714
    Unten links KachelX 75072 KachelY + 1 55617 0.45712627 0.45851983 26.191406 26.271251
    Unten rechts KachelX + 1 75073 KachelY + 1 55617 0.45717421 0.45851983 26.194153 26.271251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45856282-0.45851983) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dl = 273.889289999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45856282-0.45851983) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dr = 273.889289999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.45717421) × cos(0.45856282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 273.872086235243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.45717421) × cos(0.45851983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896708634373089 × 6371000     		du = 273.877898217928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45856282)-sin(0.45851983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896708634373089)×R²
    abs(0.45717421-0.45712627)×1.90291187799341e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90291187799341e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90291187799341e-05×40589641000000     		ar = 75011.4271812062m²