Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75070 / 55171
↖ ↑ ↗
← N 27.364450°
E 26.185913°		 ← 271.25 m → N 27.364450°
E 26.188660°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 27.362010°
E 26.185913°		 ← 271.25 m →
73 584 m²		 N 27.362010°
E 26.188660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572742462158203 y=0.420925140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572742462158203 × 217)
    floor (0.572742462158203 × 131072)
    floor (75070.5)     		tx = 75070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420925140380859 × 217)
    floor (0.420925140380859 × 131072)
    floor (55171.5)     		ty = 55171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75070 / 55171 ti = "17/75070/55171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75070/55171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75070 ÷ 217
    75070 ÷ 131072     		x = 0.572738647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55171 ÷ 217
    55171 ÷ 131072     		y = 0.420921325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572738647460938 × 2 - 1) × π
    0.145477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45703040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420921325683594 × 2 - 1) × π
    0.158157348632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.496865964561882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45703040} λ = 0.45703040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496865964561882))-π/2
    2×atan(1.64356220837502)-π/2
    2×1.02419803704882-π/2
    2.04839607409763-1.57079632675     		φ = 0.47759975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45703040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.185913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47759975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.364450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75070 KachelY 55171 0.45703040 0.47759975 26.185913 27.364450
    Oben rechts KachelX + 1 75071 KachelY 55171 0.45707834 0.47759975 26.188660 27.364450
    Unten links KachelX 75070 KachelY + 1 55172 0.45703040 0.47755717 26.185913 27.362010
    Unten rechts KachelX + 1 75071 KachelY + 1 55172 0.45707834 0.47755717 26.188660 27.362010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47759975-0.47755717) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dl = 271.277180000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47759975-0.47755717) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dr = 271.277180000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45703040-0.45707834) × cos(0.47759975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888100752104731 × 6371000     		do = 271.24882940628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45703040-0.45707834) × cos(0.47755717) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888120323147151 × 6371000     		du = 271.254806906394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47759975)-sin(0.47755717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888100752104731-0.888120323147151)×R²
    abs(0.45707834-0.45703040)×1.957104242023e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.957104242023e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.957104242023e-05×40589641000000     		ar = 73584.4283105209m²