Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75069 / 56035
↖ ↑ ↗
← N 25.237243°
E 26.183166°		 ← 276.27 m → N 25.237243°
E 26.185913°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.234758°
E 26.183166°		 ← 276.28 m →
76 320 m²		 N 25.234758°
E 26.185913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572734832763672 y=0.427516937255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572734832763672 × 217)
    floor (0.572734832763672 × 131072)
    floor (75069.5)     		tx = 75069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427516937255859 × 217)
    floor (0.427516937255859 × 131072)
    floor (56035.5)     		ty = 56035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75069 / 56035 ti = "17/75069/56035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75069/56035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75069 ÷ 217
    75069 ÷ 131072     		x = 0.572731018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56035 ÷ 217
    56035 ÷ 131072     		y = 0.427513122558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572731018066406 × 2 - 1) × π
    0.145462036132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45698246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427513122558594 × 2 - 1) × π
    0.144973754882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.455448483290154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45698246} λ = 0.45698246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455448483290154))-π/2
    2×atan(1.57688042899597)-π/2
    2×1.00563465490234-π/2
    2.01126930980468-1.57079632675     		φ = 0.44047298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45698246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.183166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44047298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.237243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75069 KachelY 56035 0.45698246 0.44047298 26.183166 25.237243
    Oben rechts KachelX + 1 75070 KachelY 56035 0.45703040 0.44047298 26.185913 25.237243
    Unten links KachelX 75069 KachelY + 1 56036 0.45698246 0.44042962 26.183166 25.234758
    Unten rechts KachelX + 1 75070 KachelY + 1 56036 0.45703040 0.44042962 26.185913 25.234758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44047298-0.44042962) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44047298-0.44042962) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45698246-0.45703040) × cos(0.44047298) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.904550101178256 × 6371000     		do = 276.272884019583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45698246-0.45703040) × cos(0.44042962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.904568587616092 × 6371000     		du = 276.278530253539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44047298)-sin(0.44042962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904550101178256-0.904568587616092)×R²
    abs(0.45703040-0.45698246)×1.84864378359739e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84864378359739e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84864378359739e-05×40589641000000     		ar = 76320.2137200151m²