Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75065 / 56291
↖ ↑ ↗
← N 24.599577°
E 26.172180°		 ← 277.65 m → N 24.599577°
E 26.174927°		 →
↑
277.71 m
↓
↑
277.71 m
↓
N 24.597080°
E 26.172180°		 ← 277.65 m →
77 107 m²		 N 24.597080°
E 26.174927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572704315185547 y=0.429470062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572704315185547 × 217)
    floor (0.572704315185547 × 131072)
    floor (75065.5)     		tx = 75065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429470062255859 × 217)
    floor (0.429470062255859 × 131072)
    floor (56291.5)     		ty = 56291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75065 / 56291 ti = "17/75065/56291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75065/56291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75065 ÷ 217
    75065 ÷ 131072     		x = 0.572700500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56291 ÷ 217
    56291 ÷ 131072     		y = 0.429466247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572700500488281 × 2 - 1) × π
    0.145401000976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45679072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429466247558594 × 2 - 1) × π
    0.141067504882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.443176636987419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45679072} λ = 0.45679072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443176636987419))-π/2
    2×atan(1.55764744819613)-π/2
    2×1.00006997404737-π/2
    2.00013994809473-1.57079632675     		φ = 0.42934362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45679072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.172180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42934362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.599577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75065 KachelY 56291 0.45679072 0.42934362 26.172180 24.599577
    Oben rechts KachelX + 1 75066 KachelY 56291 0.45683865 0.42934362 26.174927 24.599577
    Unten links KachelX 75065 KachelY + 1 56292 0.45679072 0.42930003 26.172180 24.597080
    Unten rechts KachelX + 1 75066 KachelY + 1 56292 0.45683865 0.42930003 26.174927 24.597080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42934362-0.42930003) × R
    4.35899999999823e-05 × 6371000     		dl = 277.711889999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42934362-0.42930003) × R
    4.35899999999823e-05 × 6371000     		dr = 277.711889999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45679072-0.45683865) × cos(0.42934362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.909239179505548 × 6371000     		do = 277.647121609518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45679072-0.45683865) × cos(0.42930003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.909257324029122 × 6371000     		du = 277.65266225807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42934362)-sin(0.42930003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909239179505548-0.909257324029122)×R²
    abs(0.45683865-0.45679072)×1.81445235740707e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81445235740707e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81445235740707e-05×40589641000000     		ar = 77106.6762594396m²