Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75065 / 55908
↖ ↑ ↗
← N 25.552353°
E 26.172180°		 ← 275.50 m → N 25.552353°
E 26.174927°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 25.549875°
E 26.172180°		 ← 275.50 m →
75 912 m²		 N 25.549875°
E 26.174927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572704315185547 y=0.426548004150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572704315185547 × 217)
    floor (0.572704315185547 × 131072)
    floor (75065.5)     		tx = 75065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426548004150391 × 217)
    floor (0.426548004150391 × 131072)
    floor (55908.5)     		ty = 55908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75065 / 55908 ti = "17/75065/55908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75065/55908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75065 ÷ 217
    75065 ÷ 131072     		x = 0.572700500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55908 ÷ 217
    55908 ÷ 131072     		y = 0.426544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572700500488281 × 2 - 1) × π
    0.145401000976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45679072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426544189453125 × 2 - 1) × π
    0.14691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.461536469541901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45679072} λ = 0.45679072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461536469541901))-π/2
    2×atan(1.58650973717488)-π/2
    2×1.00838451482364-π/2
    2.01676902964728-1.57079632675     		φ = 0.44597270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45679072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.172180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44597270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.552353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75065 KachelY 55908 0.45679072 0.44597270 26.172180 25.552353
    Oben rechts KachelX + 1 75066 KachelY 55908 0.45683865 0.44597270 26.174927 25.552353
    Unten links KachelX 75065 KachelY + 1 55909 0.45679072 0.44592945 26.172180 25.549875
    Unten rechts KachelX + 1 75066 KachelY + 1 55909 0.45683865 0.44592945 26.174927 25.549875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44597270-0.44592945) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dl = 275.545749999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44597270-0.44592945) × R
    4.32499999999947e-05 × 6371000     		dr = 275.545749999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45679072-0.45683865) × cos(0.44597270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902191532081608 × 6371000     		do = 275.495037685419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45679072-0.45683865) × cos(0.44592945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902210186504486 × 6371000     		du = 275.500734037857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44597270)-sin(0.44592945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902191532081608-0.902210186504486)×R²
    abs(0.45683865-0.45679072)×1.86544228774066e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86544228774066e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86544228774066e-05×40589641000000     		ar = 75912.2715949834m²