Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75064 / 55608
↖ ↑ ↗
← N 26.293415°
E 26.169434°		 ← 273.83 m → N 26.293415°
E 26.172180°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.290953°
E 26.169434°		 ← 273.83 m →
74 964 m²		 N 26.290953°
E 26.172180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572696685791016 y=0.424259185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572696685791016 × 217)
    floor (0.572696685791016 × 131072)
    floor (75064.5)     		tx = 75064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424259185791016 × 217)
    floor (0.424259185791016 × 131072)
    floor (55608.5)     		ty = 55608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75064 / 55608 ti = "17/75064/55608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75064/55608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75064 ÷ 217
    75064 ÷ 131072     		x = 0.57269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55608 ÷ 217
    55608 ÷ 131072     		y = 0.42425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57269287109375 × 2 - 1) × π
    0.1453857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45674278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42425537109375 × 2 - 1) × π
    0.1514892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.475917539427917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45674278} λ = 0.45674278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475917539427917))-π/2
    2×atan(1.60949029099607)-π/2
    2×1.01485149510021-π/2
    2.02970299020042-1.57079632675     		φ = 0.45890666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45674278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.169434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45890666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.293415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75064 KachelY 55608 0.45674278 0.45890666 26.169434 26.293415
    Oben rechts KachelX + 1 75065 KachelY 55608 0.45679072 0.45890666 26.172180 26.293415
    Unten links KachelX 75064 KachelY + 1 55609 0.45674278 0.45886369 26.169434 26.290953
    Unten rechts KachelX + 1 75065 KachelY + 1 55609 0.45679072 0.45886369 26.172180 26.290953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45890666-0.45886369) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dl = 273.761870000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45890666-0.45886369) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dr = 273.761870000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45674278-0.45679072) × cos(0.45890666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896537348084991 × 6371000     		do = 273.825582976316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45674278-0.45679072) × cos(0.45886369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896556381598774 × 6371000     		du = 273.831396301348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45890666)-sin(0.45886369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896537348084991-0.896556381598774)×R²
    abs(0.45679072-0.45674278)×1.90335137834063e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90335137834063e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90335137834063e-05×40589641000000     		ar = 74963.7993944219m²