Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75064 / 55216
↖ ↑ ↗
← N 27.254629°
E 26.169434°		 ← 271.52 m → N 27.254629°
E 26.172180°		 →
↑
271.47 m
↓
↑
271.47 m
↓
N 27.252188°
E 26.169434°		 ← 271.52 m →
73 709 m²		 N 27.252188°
E 26.172180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572696685791016 y=0.421268463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572696685791016 × 217)
    floor (0.572696685791016 × 131072)
    floor (75064.5)     		tx = 75064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421268463134766 × 217)
    floor (0.421268463134766 × 131072)
    floor (55216.5)     		ty = 55216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75064 / 55216 ti = "17/75064/55216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75064/55216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75064 ÷ 217
    75064 ÷ 131072     		x = 0.57269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55216 ÷ 217
    55216 ÷ 131072     		y = 0.4212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57269287109375 × 2 - 1) × π
    0.1453857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45674278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4212646484375 × 2 - 1) × π
    0.157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.494708804078979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45674278} λ = 0.45674278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494708804078979))-π/2
    2×atan(1.64002060220772)-π/2
    2×1.02323967466318-π/2
    2.04647934932637-1.57079632675     		φ = 0.47568302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45674278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.169434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47568302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.254629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75064 KachelY 55216 0.45674278 0.47568302 26.169434 27.254629
    Oben rechts KachelX + 1 75065 KachelY 55216 0.45679072 0.47568302 26.172180 27.254629
    Unten links KachelX 75064 KachelY + 1 55217 0.45674278 0.47564041 26.169434 27.252188
    Unten rechts KachelX + 1 75065 KachelY + 1 55217 0.45679072 0.47564041 26.172180 27.252188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47568302-0.47564041) × R
    4.26099999999985e-05 × 6371000     		dl = 271.46830999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47568302-0.47564041) × R
    4.26099999999985e-05 × 6371000     		dr = 271.46830999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45674278-0.45679072) × cos(0.47568302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888980142906488 × 6371000     		do = 271.517417992342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45674278-0.45679072) × cos(0.47564041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888999655167662 × 6371000     		du = 271.52337753915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47568302)-sin(0.47564041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888980142906488-0.888999655167662)×R²
    abs(0.45679072-0.45674278)×1.95122611741372e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95122611741372e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95122611741372e-05×40589641000000     		ar = 73709.1835231148m²