Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75063 / 56026
↖ ↑ ↗
← N 25.259601°
E 26.166687°		 ← 276.22 m → N 25.259601°
E 26.169434°		 →
↑
276.18 m
↓
↑
276.18 m
↓
N 25.257117°
E 26.166687°		 ← 276.23 m →
76 289 m²		 N 25.257117°
E 26.169434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572689056396484 y=0.427448272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572689056396484 × 217)
    floor (0.572689056396484 × 131072)
    floor (75063.5)     		tx = 75063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427448272705078 × 217)
    floor (0.427448272705078 × 131072)
    floor (56026.5)     		ty = 56026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75063 / 56026 ti = "17/75063/56026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75063/56026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75063 ÷ 217
    75063 ÷ 131072     		x = 0.572685241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56026 ÷ 217
    56026 ÷ 131072     		y = 0.427444458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572685241699219 × 2 - 1) × π
    0.145370483398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45669484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427444458007812 × 2 - 1) × π
    0.145111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.455879915386734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45669484} λ = 0.45669484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455879915386734))-π/2
    2×atan(1.57756089260187)-π/2
    2×1.00582976292495-π/2
    2.0116595258499-1.57079632675     		φ = 0.44086320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45669484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.166687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44086320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.259601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75063 KachelY 56026 0.45669484 0.44086320 26.166687 25.259601
    Oben rechts KachelX + 1 75064 KachelY 56026 0.45674278 0.44086320 26.169434 25.259601
    Unten links KachelX 75063 KachelY + 1 56027 0.45669484 0.44081985 26.166687 25.257117
    Unten rechts KachelX + 1 75064 KachelY + 1 56027 0.45674278 0.44081985 26.169434 25.257117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44086320-0.44081985) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dl = 276.182849999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44086320-0.44081985) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dr = 276.182849999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45669484-0.45674278) × cos(0.44086320) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.904383655247725 × 6371000     		do = 276.22204714808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45669484-0.45674278) × cos(0.44081985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.904402152722431 × 6371000     		du = 276.22769675298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44086320)-sin(0.44081985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904383655247725-0.904402152722431)×R²
    abs(0.45674278-0.45669484)×1.84974747063915e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84974747063915e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84974747063915e-05×40589641000000     		ar = 76288.5723881144m²