Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7506 / 7474
↖ ↑ ↗
← S 81.427045°
E149.853515°		 ← 728.42 m → S 81.427045°
E149.897461°		 →
↑
728.21 m
↓
↑
728.21 m
↓
S 81.433594°
E149.853515°		 ← 727.87 m →
530 240 m²		 S 81.433594°
E149.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91632080078125 y=0.91241455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91632080078125 × 213)
    floor (0.91632080078125 × 8192)
    floor (7506.5)     		tx = 7506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91241455078125 × 213)
    floor (0.91241455078125 × 8192)
    floor (7474.5)     		ty = 7474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7506 / 7474 ti = "13/7506/7474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7506/7474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7506 ÷ 213
    7506 ÷ 8192     		x = 0.916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7474 ÷ 213
    7474 ÷ 8192     		y = 0.912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916259765625 × 2 - 1) × π
    0.83251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61543724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.82470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59089355066479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61543724} λ = 2.61543724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59089355066479))-π/2
    2×atan(0.0749530358189474)-π/2
    2×0.0748131460620247-π/2
    0.149626292124049-1.57079632675     		φ = -1.42117003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61543724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42117003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.427045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7506 KachelY 7474 2.61543724 -1.42117003 149.853515 -81.427045
    Oben rechts KachelX + 1 7507 KachelY 7474 2.61620423 -1.42117003 149.897461 -81.427045
    Unten links KachelX 7506 KachelY + 1 7475 2.61543724 -1.42128433 149.853515 -81.433594
    Unten rechts KachelX + 1 7507 KachelY + 1 7475 2.61620423 -1.42128433 149.897461 -81.433594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42117003--1.42128433) × R
    0.000114299999999901 × 6371000     		dl = 728.205299999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42117003--1.42128433) × R
    0.000114299999999901 × 6371000     		dr = 728.205299999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61543724-2.61620423) × cos(-1.42117003) × R
    0.000766990000000245 × 0.149068615126439 × 6371000     		do = 728.422787565168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61543724-2.61620423) × cos(-1.42128433) × R
    0.000766990000000245 × 0.148955591243474 × 6371000     		du = 727.870497119452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42117003)-sin(-1.42128433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149068615126439-0.148955591243474)×R²
    abs(2.61620423-2.61543724)×0.000113023882964552×R²
    0.000766990000000245×0.000113023882964552×6371000²
    0.000766990000000245×0.000113023882964552×40589641000000     		ar = 530240.24470985m²