Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75059 / 56023
↖ ↑ ↗
← N 25.267053°
E 26.155701°		 ← 276.15 m → N 25.267053°
E 26.158447°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.264568°
E 26.155701°		 ← 276.15 m →
76 286 m²		 N 25.264568°
E 26.158447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572658538818359 y=0.427425384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572658538818359 × 217)
    floor (0.572658538818359 × 131072)
    floor (75059.5)     		tx = 75059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427425384521484 × 217)
    floor (0.427425384521484 × 131072)
    floor (56023.5)     		ty = 56023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75059 / 56023 ti = "17/75059/56023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75059/56023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75059 ÷ 217
    75059 ÷ 131072     		x = 0.572654724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56023 ÷ 217
    56023 ÷ 131072     		y = 0.427421569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572654724121094 × 2 - 1) × π
    0.145309448242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45650310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427421569824219 × 2 - 1) × π
    0.145156860351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.456023726085594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45650310} λ = 0.45650310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456023726085594))-π/2
    2×atan(1.57778777905029)-π/2
    2×1.00589479095224-π/2
    2.01178958190448-1.57079632675     		φ = 0.44099326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45650310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.155701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44099326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.267053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75059 KachelY 56023 0.45650310 0.44099326 26.155701 25.267053
    Oben rechts KachelX + 1 75060 KachelY 56023 0.45655103 0.44099326 26.158447 25.267053
    Unten links KachelX 75059 KachelY + 1 56024 0.45650310 0.44094990 26.155701 25.264568
    Unten rechts KachelX + 1 75060 KachelY + 1 56024 0.45655103 0.44094990 26.158447 25.264568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44099326-0.44094990) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44099326-0.44094990) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45650310-0.45655103) × cos(0.44099326) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904328148358137 × 6371000     		do = 276.147479168951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45650310-0.45655103) × cos(0.44094990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904346655199733 × 6371000     		du = 276.153130455669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44099326)-sin(0.44094990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904328148358137-0.904346655199733)×R²
    abs(0.45655103-0.45650310)×1.85068415955447e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85068415955447e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85068415955447e-05×40589641000000     		ar = 76285.5717592965m²