Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75056 / 56080
↖ ↑ ↗
← N 25.125393°
E 26.147461°		 ← 276.53 m → N 25.125393°
E 26.150207°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
N 25.122906°
E 26.147461°		 ← 276.53 m →
76 461 m²		 N 25.122906°
E 26.150207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572635650634766 y=0.427860260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572635650634766 × 217)
    floor (0.572635650634766 × 131072)
    floor (75056.5)     		tx = 75056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427860260009766 × 217)
    floor (0.427860260009766 × 131072)
    floor (56080.5)     		ty = 56080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75056 / 56080 ti = "17/75056/56080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75056/56080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75056 ÷ 217
    75056 ÷ 131072     		x = 0.5726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56080 ÷ 217
    56080 ÷ 131072     		y = 0.4278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5726318359375 × 2 - 1) × π
    0.145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45635928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    0.144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.453291322807251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45635928} λ = 0.45635928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453291322807251))-π/2
    2×atan(1.57348251109302)-π/2
    2×1.00465857685515-π/2
    2.00931715371031-1.57079632675     		φ = 0.43852083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45635928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43852083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.125393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75056 KachelY 56080 0.45635928 0.43852083 26.147461 25.125393
    Oben rechts KachelX + 1 75057 KachelY 56080 0.45640722 0.43852083 26.150207 25.125393
    Unten links KachelX 75056 KachelY + 1 56081 0.45635928 0.43847743 26.147461 25.122906
    Unten rechts KachelX + 1 75057 KachelY + 1 56081 0.45640722 0.43847743 26.150207 25.122906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43852083-0.43847743) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dl = 276.501399999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43852083-0.43847743) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dr = 276.501399999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45635928-0.45640722) × cos(0.43852083) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.905380710096002 × 6371000     		do = 276.526573362936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45635928-0.45640722) × cos(0.43847743) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.905399136914491 × 6371000     		du = 276.532201387609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43852083)-sin(0.43847743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905380710096002-0.905399136914491)×R²
    abs(0.45640722-0.45635928)×1.84268184890701e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84268184890701e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84268184890701e-05×40589641000000     		ar = 76460.762762331m²