Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75054 / 55582
↖ ↑ ↗
← N 26.357420°
E 26.141968°		 ← 273.67 m → N 26.357420°
E 26.144714°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.354959°
E 26.141968°		 ← 273.68 m →
74 888 m²		 N 26.354959°
E 26.144714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572620391845703 y=0.424060821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572620391845703 × 217)
    floor (0.572620391845703 × 131072)
    floor (75054.5)     		tx = 75054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424060821533203 × 217)
    floor (0.424060821533203 × 131072)
    floor (55582.5)     		ty = 55582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75054 / 55582 ti = "17/75054/55582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75054/55582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75054 ÷ 217
    75054 ÷ 131072     		x = 0.572616577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55582 ÷ 217
    55582 ÷ 131072     		y = 0.424057006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572616577148438 × 2 - 1) × π
    0.145233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45626341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424057006835938 × 2 - 1) × π
    0.151885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.477163898818039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45626341} λ = 0.45626341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477163898818039))-π/2
    2×atan(1.61149754495363)-π/2
    2×1.01541004465314-π/2
    2.03082008930628-1.57079632675     		φ = 0.46002376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45626341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.141968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46002376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.357420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75054 KachelY 55582 0.45626341 0.46002376 26.141968 26.357420
    Oben rechts KachelX + 1 75055 KachelY 55582 0.45631135 0.46002376 26.144714 26.357420
    Unten links KachelX 75054 KachelY + 1 55583 0.45626341 0.45998081 26.141968 26.354959
    Unten rechts KachelX + 1 75055 KachelY + 1 55583 0.45631135 0.45998081 26.144714 26.354959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46002376-0.45998081) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46002376-0.45998081) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45626341-0.45631135) × cos(0.46002376) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896041949065577 × 6371000     		do = 273.674275364534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45626341-0.45631135) × cos(0.45998081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896061016724709 × 6371000     		du = 273.680099118434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46002376)-sin(0.45998081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896041949065577-0.896061016724709)×R²
    abs(0.45631135-0.45626341)×1.90676591318439e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90676591318439e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90676591318439e-05×40589641000000     		ar = 74887.5066199092m²