Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75051 / 55433
↖ ↑ ↗
← N 26.723534°
E 26.133728°		 ← 272.80 m → N 26.723534°
E 26.136475°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
N 26.721080°
E 26.133728°		 ← 272.81 m →
74 423 m²		 N 26.721080°
E 26.136475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572597503662109 y=0.422924041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572597503662109 × 217)
    floor (0.572597503662109 × 131072)
    floor (75051.5)     		tx = 75051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422924041748047 × 217)
    floor (0.422924041748047 × 131072)
    floor (55433.5)     		ty = 55433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75051 / 55433 ti = "17/75051/55433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75051/55433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75051 ÷ 217
    75051 ÷ 131072     		x = 0.572593688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55433 ÷ 217
    55433 ÷ 131072     		y = 0.422920227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572593688964844 × 2 - 1) × π
    0.145187377929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.45611960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422920227050781 × 2 - 1) × π
    0.154159545898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.484306496861427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45611960} λ = 0.45611960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484306496861427))-π/2
    2×atan(1.62304902885846)-π/2
    2×1.01860498817935-π/2
    2.0372099763587-1.57079632675     		φ = 0.46641365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45611960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.133728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46641365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.723534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75051 KachelY 55433 0.45611960 0.46641365 26.133728 26.723534
    Oben rechts KachelX + 1 75052 KachelY 55433 0.45616754 0.46641365 26.136475 26.723534
    Unten links KachelX 75051 KachelY + 1 55434 0.45611960 0.46637083 26.133728 26.721080
    Unten rechts KachelX + 1 75052 KachelY + 1 55434 0.45616754 0.46637083 26.136475 26.721080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46641365-0.46637083) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46641365-0.46637083) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45611960-0.45616754) × cos(0.46641365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893186759815408 × 6371000     		do = 272.802227074644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45611960-0.45616754) × cos(0.46637083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893206014546951 × 6371000     		du = 272.808107965274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46641365)-sin(0.46637083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893186759815408-0.893206014546951)×R²
    abs(0.45616754-0.45611960)×1.92547315431835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92547315431835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92547315431835e-05×40589641000000     		ar = 74422.9465588938m²