Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7505 / 7495
↖ ↑ ↗
← S 81.563523°
E149.809570°		 ← 716.91 m → S 81.563523°
E149.853515°		 →
↑
716.67 m
↓
↑
716.67 m
↓
S 81.569968°
E149.809570°		 ← 716.37 m →
513 597 m²		 S 81.569968°
E149.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91619873046875 y=0.91497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91619873046875 × 213)
    floor (0.91619873046875 × 8192)
    floor (7505.5)     		tx = 7505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91497802734375 × 213)
    floor (0.91497802734375 × 8192)
    floor (7495.5)     		ty = 7495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7505 / 7495 ti = "13/7505/7495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7505/7495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7505 ÷ 213
    7505 ÷ 8192     		x = 0.9161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7495 ÷ 213
    7495 ÷ 8192     		y = 0.9149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9161376953125 × 2 - 1) × π
    0.832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61467025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60700034893713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61467025} λ = 2.61467025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60700034893713))-π/2
    2×atan(0.0737554528949262)-π/2
    2×0.0736221477751483-π/2
    0.147244295550297-1.57079632675     		φ = -1.42355203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61467025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42355203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.563523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7505 KachelY 7495 2.61467025 -1.42355203 149.809570 -81.563523
    Oben rechts KachelX + 1 7506 KachelY 7495 2.61543724 -1.42355203 149.853515 -81.563523
    Unten links KachelX 7505 KachelY + 1 7496 2.61467025 -1.42366452 149.809570 -81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 7506 KachelY + 1 7496 2.61543724 -1.42366452 149.853515 -81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42355203--1.42366452) × R
    0.000112490000000021 × 6371000     		dl = 716.673790000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42355203--1.42366452) × R
    0.000112490000000021 × 6371000     		dr = 716.673790000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61467025-2.61543724) × cos(-1.42355203) × R
    0.000766989999999801 × 0.146712808884839 × 6371000     		do = 716.91115617263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61467025-2.61543724) × cos(-1.42366452) × R
    0.000766989999999801 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 716.367418041016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42355203)-sin(-1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146712808884839-0.14660153519646)×R²
    abs(2.61543724-2.61467025)×0.000111273688378377×R²
    0.000766989999999801×0.000111273688378377×6371000²
    0.000766989999999801×0.000111273688378377×40589641000000     		ar = 513596.594493534m²