Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75046 / 57132
↖ ↑ ↗
← N 22.482106°
E 26.119995°		 ← 282.15 m → N 22.482106°
E 26.122742°		 →
↑
282.24 m
↓
↑
282.24 m
↓
N 22.479568°
E 26.119995°		 ← 282.16 m →
79 635 m²		 N 22.479568°
E 26.122742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572559356689453 y=0.435886383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572559356689453 × 217)
    floor (0.572559356689453 × 131072)
    floor (75046.5)     		tx = 75046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435886383056641 × 217)
    floor (0.435886383056641 × 131072)
    floor (57132.5)     		ty = 57132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75046 / 57132 ti = "17/75046/57132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75046/57132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75046 ÷ 217
    75046 ÷ 131072     		x = 0.572555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57132 ÷ 217
    57132 ÷ 131072     		y = 0.435882568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572555541992188 × 2 - 1) × π
    0.145111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45587992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435882568359375 × 2 - 1) × π
    0.12823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.402861704406952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45587992} λ = 0.45587992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402861704406952))-π/2
    2×atan(1.4960999733229)-π/2
    2×0.981591551693481-π/2
    1.96318310338696-1.57079632675     		φ = 0.39238678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45587992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.119995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39238678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.482106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75046 KachelY 57132 0.45587992 0.39238678 26.119995 22.482106
    Oben rechts KachelX + 1 75047 KachelY 57132 0.45592785 0.39238678 26.122742 22.482106
    Unten links KachelX 75046 KachelY + 1 57133 0.45587992 0.39234248 26.119995 22.479568
    Unten rechts KachelX + 1 75047 KachelY + 1 57133 0.45592785 0.39234248 26.122742 22.479568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39238678-0.39234248) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dl = 282.235299999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39238678-0.39234248) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dr = 282.235299999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45587992-0.45592785) × cos(0.39238678) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923999000141274 × 6371000     		do = 282.154210401282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45587992-0.45592785) × cos(0.39234248) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924015939327985 × 6371000     		du = 282.159382985723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39238678)-sin(0.39234248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923999000141274-0.924015939327985)×R²
    abs(0.45592785-0.45587992)×1.69391867110846e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69391867110846e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69391867110846e-05×40589641000000     		ar = 79634.6081747544m²