Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75046 / 55441
↖ ↑ ↗
← N 26.703906°
E 26.119995°		 ← 272.79 m → N 26.703906°
E 26.122742°		 →
↑
272.87 m
↓
↑
272.87 m
↓
N 26.701452°
E 26.119995°		 ← 272.80 m →
74 438 m²		 N 26.701452°
E 26.122742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572559356689453 y=0.422985076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572559356689453 × 217)
    floor (0.572559356689453 × 131072)
    floor (75046.5)     		tx = 75046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422985076904297 × 217)
    floor (0.422985076904297 × 131072)
    floor (55441.5)     		ty = 55441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75046 / 55441 ti = "17/75046/55441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75046/55441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75046 ÷ 217
    75046 ÷ 131072     		x = 0.572555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55441 ÷ 217
    55441 ÷ 131072     		y = 0.422981262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572555541992188 × 2 - 1) × π
    0.145111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45587992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422981262207031 × 2 - 1) × π
    0.154037475585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.483923001664467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45587992} λ = 0.45587992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483923001664467))-π/2
    2×atan(1.62242671668595)-π/2
    2×1.01843370699797-π/2
    2.03686741399595-1.57079632675     		φ = 0.46607109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45587992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.119995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46607109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.703906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75046 KachelY 55441 0.45587992 0.46607109 26.119995 26.703906
    Oben rechts KachelX + 1 75047 KachelY 55441 0.45592785 0.46607109 26.122742 26.703906
    Unten links KachelX 75046 KachelY + 1 55442 0.45587992 0.46602826 26.119995 26.701452
    Unten rechts KachelX + 1 75047 KachelY + 1 55442 0.45592785 0.46602826 26.122742 26.701452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46607109-0.46602826) × R
    4.28299999999937e-05 × 6371000     		dl = 272.86992999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46607109-0.46602826) × R
    4.28299999999937e-05 × 6371000     		dr = 272.86992999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45587992-0.45592785) × cos(0.46607109) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893340751809055 × 6371000     		do = 272.792345454306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45587992-0.45592785) × cos(0.46602826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893359997931106 × 6371000     		du = 272.798222489205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46607109)-sin(0.46602826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893340751809055-0.893359997931106)×R²
    abs(0.45592785-0.45587992)×1.92461220511753e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92461220511753e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92461220511753e-05×40589641000000     		ar = 74437.6300530157m²