Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75045 / 56603
↖ ↑ ↗
← N 23.818014°
E 26.117249°		 ← 279.41 m → N 23.818014°
E 26.119995°		 →
↑
279.43 m
↓
↑
279.43 m
↓
N 23.815501°
E 26.117249°		 ← 279.42 m →
78 078 m²		 N 23.815501°
E 26.119995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572551727294922 y=0.431850433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572551727294922 × 217)
    floor (0.572551727294922 × 131072)
    floor (75045.5)     		tx = 75045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431850433349609 × 217)
    floor (0.431850433349609 × 131072)
    floor (56603.5)     		ty = 56603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75045 / 56603 ti = "17/75045/56603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75045/56603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75045 ÷ 217
    75045 ÷ 131072     		x = 0.572547912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56603 ÷ 217
    56603 ÷ 131072     		y = 0.431846618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572547912597656 × 2 - 1) × π
    0.145095825195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45583198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431846618652344 × 2 - 1) × π
    0.136306762695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.428220324305962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45583198} λ = 0.45583198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428220324305962))-π/2
    2×atan(1.53452413669066)-π/2
    2×0.993249542137588-π/2
    1.98649908427518-1.57079632675     		φ = 0.41570276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45583198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.117249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41570276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.818014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75045 KachelY 56603 0.45583198 0.41570276 26.117249 23.818014
    Oben rechts KachelX + 1 75046 KachelY 56603 0.45587992 0.41570276 26.119995 23.818014
    Unten links KachelX 75045 KachelY + 1 56604 0.45583198 0.41565890 26.117249 23.815501
    Unten rechts KachelX + 1 75046 KachelY + 1 56604 0.45587992 0.41565890 26.119995 23.815501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41570276-0.41565890) × R
    4.38600000000067e-05 × 6371000     		dl = 279.432060000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41570276-0.41565890) × R
    4.38600000000067e-05 × 6371000     		dr = 279.432060000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45583198-0.45587992) × cos(0.41570276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914832748787497 × 6371000     		do = 279.413469274472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45583198-0.45587992) × cos(0.41565890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914850460020217 × 6371000     		du = 279.418878740832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41570276)-sin(0.41565890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914832748787497-0.914850460020217)×R²
    abs(0.45587992-0.45583198)×1.77112327196527e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77112327196527e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77112327196527e-05×40589641000000     		ar = 78077.8371127345m²