Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75045 / 55605
↖ ↑ ↗
← N 26.300802°
E 26.117249°		 ← 273.81 m → N 26.300802°
E 26.119995°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.298340°
E 26.117249°		 ← 273.81 m →
74 959 m²		 N 26.298340°
E 26.119995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572551727294922 y=0.424236297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572551727294922 × 217)
    floor (0.572551727294922 × 131072)
    floor (75045.5)     		tx = 75045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424236297607422 × 217)
    floor (0.424236297607422 × 131072)
    floor (55605.5)     		ty = 55605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75045 / 55605 ti = "17/75045/55605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75045/55605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75045 ÷ 217
    75045 ÷ 131072     		x = 0.572547912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55605 ÷ 217
    55605 ÷ 131072     		y = 0.424232482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572547912597656 × 2 - 1) × π
    0.145095825195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45583198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424232482910156 × 2 - 1) × π
    0.151535034179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.476061350126778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45583198} λ = 0.45583198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476061350126778))-π/2
    2×atan(1.60972176956377)-π/2
    2×1.01491595887791-π/2
    2.02983191775581-1.57079632675     		φ = 0.45903559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45583198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.117249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45903559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.300802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75045 KachelY 55605 0.45583198 0.45903559 26.117249 26.300802
    Oben rechts KachelX + 1 75046 KachelY 55605 0.45587992 0.45903559 26.119995 26.300802
    Unten links KachelX 75045 KachelY + 1 55606 0.45583198 0.45899262 26.117249 26.298340
    Unten rechts KachelX + 1 75046 KachelY + 1 55606 0.45587992 0.45899262 26.119995 26.298340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45903559-0.45899262) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45903559-0.45899262) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45583198-0.45587992) × cos(0.45903559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896480228749795 × 6371000     		do = 273.808137261096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45583198-0.45587992) × cos(0.45899262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896499267230399 × 6371000     		du = 273.813952103123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45903559)-sin(0.45899262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896480228749795-0.896499267230399)×R²
    abs(0.45587992-0.45583198)×1.90384806042498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90384806042498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90384806042498e-05×40589641000000     		ar = 74959.0236302966m²